Tentukan persamaan garis singgung f(x)=2+x-x^2 yang: a.

a. y = -x + 3, b. y = -x + 3 dan y = 3x + 3

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 2 + x - x^2, kita perlu turunan pertama dari fungsi tersebut, yang memberikan gradien garis singgung pada setiap titik.
Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 1 - 2x.

a. Melalui titik (1,2):
Pertama, kita cek apakah titik (1,2) berada pada kurva. Substitusikan x=1 ke dalam f(x):
f(1) = 2 + 1 - 1^2 = 2 + 1 - 1 = 2. Jadi, titik (1,2) memang berada pada kurva.
Gradien pada x=1 adalah f'(1) = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1.
Kita gunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1), dengan (x1, y1) = (1,2) dan m = -1.
y - 2 = -1(x - 1)
y - 2 = -x + 1
y = -x + 3
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (1,2) adalah y = -x + 3.

b. Melalui titik (0,3):
Pertama, kita cek apakah titik (0,3) berada pada kurva. Substitusikan x=0 ke dalam f(x):
f(0) = 2 + 0 - 0^2 = 2. Jadi, titik (0,3) TIDAK berada pada kurva.
Dalam kasus ini, kita perlu mencari titik pada kurva (x, f(x)) di mana garis singgungnya melalui (0,3).
Gradien garis singgung pada titik x adalah m = f'(x) = 1 - 2x.
Persamaan garis singgung pada titik x adalah y - f(x) = f'(x)(x - x).
y - (2 + x - x^2) = (1 - 2x)(x - x)
Kita ingin garis ini melalui titik (0,3). Substitusikan y=3 dan x=0 ke dalam persamaan ini:
3 - (2 + x - x^2) = (1 - 2x)(0 - x)
3 - 2 - x + x^2 = (1 - 2x)(-x)
1 - x + x^2 = -x + 2x^2
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
0 = 2x^2 - x^2 + x - x - 1
0 = x^2 - 1
x^2 = 1
x = 1 atau x = -1.

Jika x = 1, maka f(1) = 2 + 1 - 1^2 = 2. Gradien f'(1) = 1 - 2(1) = -1. Persamaan garis singgungnya adalah y - 2 = -1(x - 1) => y = -x + 3. Titik (0,3) memang terletak pada garis ini (3 = -0 + 3).

Jika x = -1, maka f(-1) = 2 + (-1) - (-1)^2 = 2 - 1 - 1 = 0. Gradien f'(-1) = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3. Persamaan garis singgungnya adalah y - 0 = 3(x - (-1)) => y = 3(x + 1) => y = 3x + 3. Titik (0,3) juga terletak pada garis ini (3 = 3(0) + 3).

Jadi, ada dua persamaan garis singgung yang melalui titik (0,3).

Jawaban Ringkas: a. y = -x + 3, b. y = -x + 3 dan y = 3x + 3