Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y=x^3-3x^2+1

Persamaan garis singgungnya adalah y = 9x - 26 dan y = 9x + 6.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x^3 - 3x^2 + 1 yang sejajar dengan garis 18x - 2y + 3 = 0, kita perlu mencari gradien dari garis tersebut terlebih dahulu. Persamaan garis 18x - 2y + 3 = 0 dapat diubah ke bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien. Maka, 2y = 18x + 3, sehingga y = 9x + 3/2. Gradien garis ini adalah 9. Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga 9. Gradien garis singgung pada kurva didapatkan dari turunan pertama fungsi kurva tersebut. Turunan dari y = x^3 - 3x^2 + 1 adalah dy/dx = 3x^2 - 6x. Kita samakan turunan ini dengan gradien garis singgung (9): 3x^2 - 6x = 9. Bagi kedua sisi dengan 3: x^2 - 2x = 3. Pindahkan 3 ke sisi kiri: x^2 - 2x - 3 = 0. Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: (x - 3)(x + 1) = 0. Maka, kita dapatkan dua nilai x, yaitu x = 3 atau x = -1. 

Untuk x = 3, substitusikan ke persamaan kurva y = x^3 - 3x^2 + 1: y = (3)^3 - 3(3)^2 + 1 = 27 - 3(9) + 1 = 27 - 27 + 1 = 1. Titik singgungnya adalah (3,1). Persamaan garis singgungnya adalah y - y1 = m(x - x1) => y - 1 = 9(x - 3) => y - 1 = 9x - 27 => y = 9x - 26.

Untuk x = -1, substitusikan ke persamaan kurva y = x^3 - 3x^2 + 1: y = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -1 - 3(1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3. Titik singgungnya adalah (-1,-3). Persamaan garis singgungnya adalah y - y1 = m(x - x1) => y - (-3) = 9(x - (-1)) => y + 3 = 9(x + 1) => y + 3 = 9x + 9 => y = 9x + 6.

Jadi, ada dua persamaan garis singgung yang memenuhi, yaitu y = 9x - 26 dan y = 9x + 6.