Tentukan persamaan lingkaran berikut.Lingkaran L dengan

(x + 6)^2 + y^2 = 36

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran L, kita perlu mencari jari-jari (r) dan titik pusat (a, b).

Diketahui:
1. Titik pusat (a, b) berada pada garis x = 2y - 6. Maka, a = 2b - 6.
2. Lingkaran melalui titik (0, 0).
3. Lingkaran menyinggung garis 4x - 3y - 6 = 0.

Persamaan umum lingkaran adalah (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
Karena lingkaran melalui (0, 0), substitusikan titik ini ke persamaan: (0 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2  => a^2 + b^2 = r^2. Ini adalah kuadrat jari-jari.

Jarak dari titik pusat (a, b) ke garis singgung 4x - 3y - 6 = 0 sama dengan jari-jari (r). Rumus jarak titik ke garis adalah |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Di sini, A=4, B=-3, C=-6.
r = |4a - 3b - 6| / sqrt(4^2 + (-3)^2)
r = |4a - 3b - 6| / sqrt(16 + 9)
r = |4a - 3b - 6| / sqrt(25)
r = |4a - 3b - 6| / 5

Maka, r^2 = (|4a - 3b - 6| / 5)^2 = (4a - 3b - 6)^2 / 25.

Karena r^2 = a^2 + b^2, kita punya:
a^2 + b^2 = (4a - 3b - 6)^2 / 25
25(a^2 + b^2) = (4a - 3b - 6)^2
25a^2 + 25b^2 = (4a - 3b - 6)(4a - 3b - 6)
25a^2 + 25b^2 = 16a^2 + 9b^2 + 36 - 24ab - 48a + 36b

Kita juga tahu a = 2b - 6. Substitusikan a ke dalam persamaan di atas:
25(2b - 6)^2 + 25b^2 = 16(2b - 6)^2 + 9b^2 + 36 - 24b(2b - 6) - 48(2b - 6) + 36b

Mari kita sederhanakan terlebih dahulu:
25(4b^2 - 24b + 36) + 25b^2 = 16(4b^2 - 24b + 36) + 9b^2 + 36 - 48b^2 + 144b - 96b + 288 + 36b

100b^2 - 600b + 900 + 25b^2 = 64b^2 - 384b + 576 + 9b^2 + 36 - 48b^2 + 144b - 96b + 288 + 36b

125b^2 - 600b + 900 = (64 + 9 - 48)b^2 + (-384 + 144 - 96 + 36)b + (576 + 36 + 288)
125b^2 - 600b + 900 = 25b^2 - 294b + 900

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
125b^2 - 25b^2 - 600b + 294b + 900 - 900 = 0
100b^2 - 306b = 0
b(100b - 306) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai b:
b = 0 atau 100b = 306 => b = 306/100 = 3,06.

Kasus 1: b = 0
Jika b = 0, maka a = 2(0) - 6 = -6.
Titik pusat (-6, 0).
Jari-jari kuadrat r^2 = a^2 + b^2 = (-6)^2 + 0^2 = 36.
Persamaan lingkaran: (x - (-6))^2 + (y - 0)^2 = 36  => (x + 6)^2 + y^2 = 36.

Mari kita periksa apakah lingkaran ini menyinggung garis 4x - 3y - 6 = 0.
Jarak dari (-6, 0) ke garis 4x - 3y - 6 = 0 adalah:
r = |4(-6) - 3(0) - 6| / sqrt(4^2 + (-3)^2)
r = |-24 - 0 - 6| / sqrt(16 + 9)
r = |-30| / sqrt(25)
r = 30 / 5 = 6.
Jari-jari kuadrat r^2 = 6^2 = 36. Ini sesuai dengan r^2 yang kita hitung dari titik pusat dan titik (0,0).

Jadi, salah satu persamaan lingkaran yang mungkin adalah (x + 6)^2 + y^2 = 36.

Kasus 2: b = 3,06
Jika b = 3,06, maka a = 2(3,06) - 6 = 6,12 - 6 = 0,12.
Titik pusat (0,12, 3,06).
Jari-jari kuadrat r^2 = a^2 + b^2 = (0,12)^2 + (3,06)^2 = 0,0144 + 9,3636 = 9,378.

Mari kita periksa jarak dari (0,12, 3,06) ke garis 4x - 3y - 6 = 0:
r = |4(0,12) - 3(3,06) - 6| / 5
r = |0,48 - 9,18 - 6| / 5
r = |-14,7| / 5 = 14,7 / 5 = 2,94.
Jari-jari kuadrat r^2 = (2,94)^2 = 8,6436.
Nilai r^2 dari kedua cara berbeda (9,378 vs 8,6436), yang berarti kasus ini tidak memenuhi syarat.

Jadi, satu-satunya persamaan lingkaran yang memenuhi adalah yang ditemukan dari Kasus 1.