Buktikan bahwa 1+2+ ... +n+(n-1)+(n-2)+ ... +2+1=n^2

Deret dapat dipecah menjadi jumlah deret 1 hingga n dan jumlah deret 1 hingga n-1, yang keduanya memiliki rumus jumlah n(n+1)/2, sehingga totalnya adalah n².

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 1 + 2 + ... + n + (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1 = n², kita dapat menggunakan metode induksi matematika atau dengan cara menjumlahkan deret secara langsung.

Metode Penjumlahan Langsung:
Perhatikan deret tersebut:
S = 1 + 2 + ... + (n-1) + n + (n-1) + ... + 2 + 1

Kita bisa membaginya menjadi dua bagian:
Bagian 1: 1 + 2 + ... + n
Ini adalah jumlah dari deret aritmatika dengan suku pertama a = 1, suku terakhir l = n, dan jumlah suku n. Rumusnya adalah n/2 * (a + l) = n/2 * (1 + n).

Bagian 2: (n-1) + (n-2) + ... + 2 + 1
Ini adalah jumlah dari deret aritmatika dengan suku pertama a = n-1, suku terakhir l = 1, dan jumlah suku n-1. Rumusnya adalah (n-1)/2 * (a + l) = (n-1)/2 * (n-1 + 1) = (n-1)/2 * n.

Menjumlahkan kedua bagian:
S = [n/2 * (1 + n)] + [(n-1)/2 * n]
S = n/2 * (1 + n + n - 1)
S = n/2 * (2n)
S = n²

Metode Lain:
Perhatikan bahwa deret tersebut dapat ditulis sebagai:
S = (1 + 2 + ... + n) + (1 + 2 + ... + (n-1))
Jumlah deret aritmatika 1 sampai k adalah k(k+1)/2.
Jadi, S = n(n+1)/2 + (n-1)(n-1+1)/2
S = n(n+1)/2 + (n-1)n/2
S = (n² + n + n² - n) / 2
S = (2n²) / 2
S = n²

Jawaban Ringkas: Deret dapat dipecah menjadi jumlah deret 1 hingga n dan jumlah deret 1 hingga n-1, yang keduanya memiliki rumus jumlah n(n+1)/2, sehingga totalnya adalah n².