Tentukan sisa pembagian sukubanyak berikut. x^7-7x^4+3x

Sisa pembagian adalah -28x^2 + 67x

Pembahasan

Untuk menentukan sisa pembagian sukubanyak x^7 - 7x^4 + 3x oleh x^3 - 4x, kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau teorema sisa.

Metode Pembagian Polinomial:
Kita akan membagi x^7 - 7x^4 + 3x dengan x^3 - 4x.

   x^4   + 4x^2 + 16
____________________
x^3-4x | x^7 + 0x^6 + 0x^5 - 7x^4 + 0x^3 + 3x^2 + 0x + 0
       -(x^7 - 4x^5)
       ____________________
             4x^5 - 7x^4
           -(4x^5 - 16x^3)
           ____________________
                  -7x^4 + 16x^3 + 3x
                -(-7x^4 + 28x^2)
                ____________________
                       16x^3 + 3x - 28x^2
                     -(16x^3 - 64x)
                     ____________________
                            -28x^2 + 67x

Karena derajat sisa (-28x^2 + 67x) lebih kecil dari derajat pembagi (x^3 - 4x), maka pembagian selesai.

Sisa pembagiannya adalah -28x^2 + 67x.

Metode Teorema Sisa (dengan faktorisasi pembagi):
Pembagi adalah x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2).
Misalkan S(x) adalah sisa pembagian. Karena pembagi berderajat 3, maka sisa berderajat maksimal 2, yaitu S(x) = Ax^2 + Bx + C.

Pembagian dapat ditulis sebagai:
x^7 - 7x^4 + 3x = Q(x)(x^3 - 4x) + Ax^2 + Bx + C

Substitusi akar-akar dari pembagi:
Jika x = 0:
0^7 - 7(0)^4 + 3(0) = Q(0)(0) + A(0)^2 + B(0) + C
0 = C

Jika x = 2:
2^7 - 7(2)^4 + 3(2) = Q(2)(0) + A(2)^2 + B(2) + C
128 - 7(16) + 6 = 4A + 2B + C
128 - 112 + 6 = 4A + 2B + C
22 = 4A + 2B + C
Karena C=0, maka 22 = 4A + 2B (Persamaan 1)

Jika x = -2:
(-2)^7 - 7(-2)^4 + 3(-2) = Q(-2)(0) + A(-2)^2 + B(-2) + C
-128 - 7(16) - 6 = 4A - 2B + C
-128 - 112 - 6 = 4A - 2B + C
-246 = 4A - 2B + C
Karena C=0, maka -246 = 4A - 2B (Persamaan 2)

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(22) + (-246) = (4A + 2B) + (4A - 2B)
-224 = 8A
A = -224 / 8
A = -28

Substitusi A = -28 ke Persamaan 1:
22 = 4(-28) + 2B
22 = -112 + 2B
22 + 112 = 2B
134 = 2B
B = 134 / 2
B = 67

Jadi, sisa pembagiannya adalah S(x) = Ax^2 + Bx + C = -28x^2 + 67x + 0 = -28x^2 + 67x.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.