Fungsi f(x) = (x^2 - 2x + 1/16-x^2)^(1/2) terdefinisi untuk

Domain fungsi adalah -4 < x < 4

Pembahasan

Fungsi f(x) = (x^2 - 2x + 1/16-x^2)^(1/2) terdefinisi jika ekspresi di dalam akar kuadrat tidak negatif. Namun, dalam soal ini terdapat kesalahan penulisan pada bagian "1/16-x^2". Diasumsikan yang dimaksud adalah "(1/16) - x^2" atau "1/(16-x^2)". Mari kita analisis kedua kemungkinan:

Kemungkinan 1: f(x) = (x^2 - 2x + (1/16) - x^2)^(1/2)
Dalam kasus ini, x^2 dan -x^2 akan saling menghilangkan, sehingga f(x) = (-2x + 1/16)^(1/2). Agar fungsi terdefinisi, -2x + 1/16 >= 0, yang berarti 1/16 >= 2x, atau x <= 1/32. Ini tidak sesuai dengan pilihan jawaban yang diberikan.

Kemungkinan 2: f(x) = (x^2 - 2x + 1/(16-x^2))^(1/2)
Dalam kasus ini, kita perlu memastikan dua hal:
1. Ekspresi di dalam akar kuadrat tidak negatif: x^2 - 2x + 1/(16-x^2) >= 0
2. Penyebut tidak boleh nol: 16 - x^2 != 0, yang berarti x^2 != 16, sehingga x != 4 dan x != -4.

Melihat pilihan jawaban yang diberikan (A. 1 < x < 4, B. x < -1 atau x > 1, C. 1 < x < 1, D. x < -4 atau x > 4, E. -4 < x < 4), tampaknya soal ini berkaitan dengan domain fungsi akar kuadrat di mana ekspresi di dalamnya adalah suatu bentuk yang pembatasnya adalah nilai-nilai tertentu.

Mari kita coba interpretasikan ulang soal dengan asumsi ada kesalahan ketik yang lebih mendasar, dan seharusnya ekspresi di dalam akar kuadrat adalah sebuah pecahan tunggal atau bentuk yang lebih sederhana yang domainnya sesuai dengan pilihan. Jika kita mengabaikan bagian "x^2 - 2x" dan fokus pada "(1/16-x^2)^(1/2)", maka ini berarti kita membutuhkan "1/(16-x^2) >= 0". Karena 1 adalah positif, kita membutuhkan "16-x^2 > 0" (penyebut tidak boleh nol dan harus positif agar hasilnya positif). Ini berarti 16 > x^2, atau -4 < x < 4.

Jika kita menganggap soalnya adalah f(x) = (1/(16-x^2))^(1/2), maka domainnya adalah -4 < x < 4. Pilihan E cocok dengan asumsi ini.

Namun, jika kita menganggap soalnya adalah f(x) = ( (x^2 - 2x + 1) / (16 - x^2) )^(1/2), yang berarti f(x) = ( (x-1)^2 / (4-x)(4+x) )^(1/2). Agar fungsi terdefinisi:
1. (x-1)^2 / ((4-x)(4+x)) >= 0
2. (4-x)(4+x) != 0, yaitu x != 4 dan x != -4.

Karena (x-1)^2 selalu non-negatif, kita perlu memperhatikan tanda dari penyebut.
Kasus 1: (x-1)^2 = 0 => x = 1. Maka f(1) = 0, yang terdefinisi.
Kasus 2: (x-1)^2 > 0 => x != 1.
Kita perlu (4-x)(4+x) > 0.
Ini terjadi ketika kedua faktor positif atau kedua faktor negatif.
Jika 4-x > 0 dan 4+x > 0 => x < 4 dan x > -4 => -4 < x < 4.
Jika 4-x < 0 dan 4+x < 0 => x > 4 dan x < -4 => tidak ada solusi.
Jadi, agar penyebut positif, kita perlu -4 < x < 4.

Menggabungkan syarat x != 1 dan -4 < x < 4, domainnya adalah -4 < x < 1 atau 1 < x < 4.

Melihat pilihan jawaban yang ada, dan ketidakjelasan soal, pilihan yang paling masuk akal berdasarkan interpretasi umum soal domain fungsi akar kuadrat yang melibatkan pembagian dan pembatas tertentu adalah E. -4 < x < 4, yang mungkin berasal dari penyederhanaan atau fokus pada bagian penyebut yang membentuk pembatas utama.