Tentukan solusi dari pertidaksamaan berikut. 1. 2 t+3-|t|

Solusi pertidaksamaan 1 adalah t >= 4. Solusi pertidaksamaan 2 adalah -4 < t < 4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak ini, kita akan membaginya menjadi beberapa kasus berdasarkan nilai dari t.

Pertidaksamaan 1: 2t + 3 - |t| >= 7

Kasus 1.1: Jika t >= 0, maka |t| = t.
Pertidaksamaan menjadi: 2t + 3 - t >= 7 => t + 3 >= 7 => t >= 4. Irisan dari t >= 0 dan t >= 4 adalah t >= 4.

Kasus 1.2: Jika t < 0, maka |t| = -t.
Pertidaksamaan menjadi: 2t + 3 - (-t) >= 7 => 2t + 3 + t >= 7 => 3t + 3 >= 7 => 3t >= 4 => t >= 4/3. Irisan dari t < 0 dan t >= 4/3 adalah tidak ada solusi.

Jadi, solusi untuk pertidaksamaan pertama adalah t >= 4.

Pertidaksamaan 2: |t - 1| + |t| + |t + 1| < 12

Kita perlu mempertimbangkan titik-titik kritis di mana ekspresi di dalam nilai mutlak berubah tanda, yaitu t = -1, t = 0, dan t = 1.

Kasus 2.1: t < -1.
|t - 1| = -(t - 1) = 1 - t
|t| = -t
|t + 1| = -(t + 1) = -t - 1
Pertidaksamaan menjadi: (1 - t) + (-t) + (-t - 1) < 12 => 1 - t - t - t - 1 < 12 => -3t < 12 => t > -4. Irisan dari t < -1 dan t > -4 adalah -4 < t < -1.

Kasus 2.2: -1 <= t < 0.
|t - 1| = -(t - 1) = 1 - t
|t| = -t
|t + 1| = t + 1
Pertidaksamaan menjadi: (1 - t) + (-t) + (t + 1) < 12 => 1 - t - t + t + 1 < 12 => 2 - t < 12 => -t < 10 => t > -10. Irisan dari -1 <= t < 0 dan t > -10 adalah -1 <= t < 0.

Kasus 2.3: 0 <= t < 1.
|t - 1| = -(t - 1) = 1 - t
|t| = t
|t + 1| = t + 1
Pertidaksamaan menjadi: (1 - t) + t + (t + 1) < 12 => 1 - t + t + t + 1 < 12 => t + 2 < 12 => t < 10. Irisan dari 0 <= t < 1 dan t < 10 adalah 0 <= t < 1.

Kasus 2.4: t >= 1.
|t - 1| = t - 1
|t| = t
|t + 1| = t + 1
Pertidaksamaan menjadi: (t - 1) + t + (t + 1) < 12 => t - 1 + t + t + 1 < 12 => 3t < 12 => t < 4. Irisan dari t >= 1 dan t < 4 adalah 1 <= t < 4.

Menggabungkan semua solusi:
Dari kasus 2.1: -4 < t < -1
Dari kasus 2.2: -1 <= t < 0
Dari kasus 2.3: 0 <= t < 1
Dari kasus 2.4: 1 <= t < 4

Gabungan solusi untuk pertidaksamaan kedua adalah -4 < t < 4.

Solusi keseluruhan:
1. t >= 4
2. -4 < t < 4

Jika kedua pertidaksamaan harus dipenuhi secara bersamaan, maka tidak ada solusi. Namun, jika ini adalah dua pertidaksamaan terpisah, maka:
Solusi pertidaksamaan 1: {t | t >= 4}
Solusi pertidaksamaan 2: {t | -4 < t < 4}