Tentukan titik stasioner dan jenisnya dengan uji turunan

Titik stasioner di (0, -1), jenisnya minimum lokal (uji turunan kedua tidak konklusif).

Pembahasan

Untuk menentukan titik stasioner dan jenisnya dengan uji turunan kedua pada fungsi y = x^4 - 1, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1. **Cari turunan pertama (y'):**
y' = d/dx (x^4 - 1)
y' = 4x^3

2. **Cari turunan kedua (y''):**
y'' = d/dx (4x^3)
y'' = 12x^2

3. **Tentukan titik stasioner dengan menyamakan y' = 0:**
4x^3 = 0
x^3 = 0
x = 0

4. **Substitusikan nilai x ke dalam persamaan y untuk mendapatkan koordinat y:**
y = (0)^4 - 1
y = -1
Jadi, titik stasionernya adalah (0, -1).

5. **Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis titik stasioner:**
Substitusikan x = 0 ke dalam turunan kedua (y''):
y'' = 12(0)^2
y'' = 0

Karena turunan kedua sama dengan 0, uji turunan kedua tidak dapat menentukan jenis titik stasioner. Dalam kasus ini, kita perlu menggunakan uji turunan pertama atau analisis lebih lanjut. Namun, jika kita melihat bentuk fungsi y = x^4 - 1, nilai x = 0 adalah titik minimum lokal karena x^4 selalu non-negatif, dan nilai terendahnya adalah 0 ketika x = 0. Oleh karena itu, titik (0, -1) adalah titik minimum lokal.