Nilai dari lim x->0 1-cos x/x sin2x adalah....

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, seperti substitusi langsung, faktorisasi, atau mengalikan dengan konjugat. Metode yang paling umum untuk bentuk seperti ini adalah menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.
Limit x->0 (1 - cos x) / (x sin 2x)
Kita tahu bahwa 1 - cos x = 2 sin^2(x/2) dan sin 2x = 2 sin x cos x.
Substitusi identitas ini ke dalam persamaan:
Limit x->0 (2 sin^2(x/2)) / (x * 2 sin x cos x)
Kita juga tahu bahwa sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2).
Limit x->0 (2 sin^2(x/2)) / (x * 2 * (2 sin(x/2) cos(x/2)) * cos x)
Limit x->0 (2 sin^2(x/2)) / (4x sin(x/2) cos(x/2) cos x)
Kita bisa menyederhanakan sin(x/2):
Limit x->0 (sin(x/2)) / (2x cos(x/2) cos x)
Kita juga tahu bahwa limit sin(ax)/bx = a/b. Untuk memanipulasi bagian sin(x/2) / x, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 1/2:
Limit x->0 (1/2 * sin(x/2) / (x/2)) / (2 cos(x/2) cos x)
Saat x mendekati 0, sin(x/2)/(x/2) mendekati 1.
Limit x->0 (1/2 * 1) / (2 cos(0) cos 0)
Limit x->0 (1/2) / (2 * 1 * 1)
Limit x->0 (1/2) / 2
Limit x->0 1/4
Jadi, nilai dari lim x->0 (1-cos x)/(x sin 2x) adalah 1/4.