Tentukan turunan fungsi berikut. Tentukan nilai stasioner

Nilai stasioner terjadi pada x = pi/6 dan x = 5pi/6.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menentukan turunan dari fungsi f(x) = cos(x) / (2 - sin(x)) dan kemudian mencari nilai stasionernya pada interval 0 <= x <= 2pi.

Langkah 1: Tentukan turunan pertama dari f(x).
Kita akan menggunakan aturan hasil bagi (quotient rule) untuk turunan, yang menyatakan bahwa jika f(x) = u(x) / v(x), maka f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2.

Dalam kasus ini:
u(x) = cos(x) => u'(x) = -sin(x)
v(x) = 2 - sin(x) => v'(x) = -cos(x)

Menerapkan aturan hasil bagi:
f'(x) = [(-sin(x))(2 - sin(x)) - (cos(x))(-cos(x))] / (2 - sin(x))^2
f'(x) = [-2sin(x) + sin^2(x) + cos^2(x)] / (2 - sin(x))^2

Menggunakan identitas trigonometri sin^2(x) + cos^2(x) = 1:
f'(x) = [-2sin(x) + 1] / (2 - sin(x))^2.

Langkah 2: Cari nilai stasioner.
Nilai stasioner terjadi ketika turunan pertama sama dengan nol, yaitu f'(x) = 0.

[-2sin(x) + 1] / (2 - sin(x))^2 = 0

Agar pecahan bernilai nol, pembilangnya harus nol (dengan syarat penyebutnya tidak nol).
-2sin(x) + 1 = 0
1 = 2sin(x)
sin(x) = 1/2.

Sekarang kita perlu mencari nilai x dalam interval 0 <= x <= 2pi di mana sin(x) = 1/2.
Nilai-nilai x yang memenuhi adalah x = pi/6 dan x = 5pi/6.

Kita juga perlu memastikan bahwa penyebut tidak nol pada nilai-nilai x ini. Penyebutnya adalah (2 - sin(x))^2. Karena sin(x) nilainya antara -1 dan 1, maka 2 - sin(x) akan selalu positif (antara 1 dan 3), sehingga kuadratnya tidak akan pernah nol.

Jadi, nilai-nilai stasioner dari fungsi f(x) = (cos x)/(2 - sin x) pada interval 0<=x<=2pi terjadi pada x = pi/6 dan x = 5pi/6.