Tentukan turunan pertama fungsi f(x)=3 sin x cos x.

3 cos(2x)

Pembahasan

Untuk menentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 3 sin x cos x, kita bisa menggunakan aturan perkalian atau mengubah fungsi terlebih dahulu menggunakan identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa identitas trigonometri untuk sinus sudut ganda adalah: sin(2x) = 2 sin x cos x.
Dari sini, kita bisa menulis ulang f(x) sebagai:
f(x) = 3 * (1/2) * (2 sin x cos x)
f(x) = (3/2) sin(2x)

Sekarang, kita turunkan f(x) terhadap x. Gunakan aturan rantai:
Turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u
df/dx = (3/2) * cos(2x) * d/dx(2x)
df/dx = (3/2) * cos(2x) * 2
df/dx = 3 cos(2x)

Metode 2: Menggunakan Aturan Perkalian
Aturan perkalian menyatakan bahwa jika f(x) = u(x)v(x), maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Dalam kasus ini, kita bisa memisahkan f(x) = 3 * (sin x) * (cos x).
Misalkan u(x) = 3 sin x dan v(x) = cos x.
Maka, u'(x) = 3 cos x dan v'(x) = -sin x.

Menerapkan aturan perkalian:
f'(x) = (3 cos x)(cos x) + (3 sin x)(-sin x)
f'(x) = 3 cos^2 x - 3 sin^2 x

Kita bisa menggunakan identitas trigonometri cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x.
Jadi, f'(x) = 3 (cos^2 x - sin^2 x)
f'(x) = 3 cos(2x)

Kedua metode menghasilkan turunan yang sama.

Jawaban: Turunan pertama dari f(x) = 3 sin x cos x adalah 3 cos(2x).