Tentukan volum benda putar yang terbentuk dari daerah yang

Volume total benda putar adalah (1172/30)\pi atau sekitar 39.07\pi.

Pembahasan

Untuk menentukan volume benda putar yang diputar 360 derajat mengelilingi sumbu Y, kita akan menggunakan metode cakram atau cincin, yang berarti kita akan mengintegrasikan terhadap y. 

(i) Daerah dibatasi oleh y = x^4 dan 0 <= y <= 1. 
Kita perlu menyatakan x dalam bentuk y: x = y^(1/4). Karena kita memutar mengelilingi sumbu Y, jari-jari cakram adalah x. Volume benda putar V1 diberikan oleh integral:
V1 = \int_{a}^{b} \pi x^2 dy
Di sini, x^2 = (y^(1/4))^2 = y^(1/2). Batas integrasi adalah dari y = 0 hingga y = 1.
V1 = \int_{0}^{1} \pi y^{1/2} dy
V1 = \pi [ (2/3) y^(3/2) ]_{0}^{1}
V1 = \pi [ (2/3) * 1^(3/2) - (2/3) * 0^(3/2) ]
V1 = (2/3) \pi

(ii) Daerah dibatasi oleh y = 1/2 x^2, y = 4 akar(x), 0 <= y <= 8.
Kita perlu menyatakan x dalam bentuk y untuk kedua kurva.
Untuk y = 1/2 x^2 => x^2 = 2y => x = \sqrt{2y}
Untuk y = 4 akar(x) => akar(x) = y/4 => x = (y/4)^2 = y^2/16.

Kita perlu menentukan batas y atas dan bawah dari perpotongan kedua kurva. Setel y = 1/2 x^2 dan y = 4 akar(x) sama.
1/2 x^2 = 4 akar(x)
Kuadratkan kedua sisi:
1/4 x^4 = 16 x
x^4 = 64 x
x^4 - 64x = 0
x(x^3 - 64) = 0
Ini memberikan x = 0 atau x^3 = 64, sehingga x = 4.
Ketika x = 0, y = 0. Ketika x = 4, y = 1/2 * 4^2 = 8 atau y = 4 * akar(4) = 4 * 2 = 8. Jadi, batas y adalah 0 hingga 8.

Untuk rotasi mengelilingi sumbu Y, kita menggunakan metode cakram/cincin. Kita perlu mengidentifikasi kurva mana yang berada di luar dan di dalam. Untuk rentang y tertentu, kita perlu membandingkan nilai x dari kedua fungsi. Mari kita lihat titik tengah, misalnya y = 4.
Untuk y = \sqrt{2y}, x = \sqrt{2*4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828.
Untuk x = y^2/16, x = 4^2/16 = 16/16 = 1.
Jadi, x = \sqrt{2y} adalah kurva luar dan x = y^2/16 adalah kurva dalam.

Volume benda putar V2 diberikan oleh integral:
V2 = \int_{a}^{b} \pi ( (R_{luar})^2 - (R_{dalam})^2 ) dy
V2 = \int_{0}^{8} \pi [ (\sqrt{2y})^2 - (y^2/16)^2 ] dy
V2 = \int_{0}^{8} \pi [ 2y - y^4/256 ] dy
V2 = \pi [ y^2 - (1/256) * (y^5/5) ]_{0}^{8}
V2 = \pi [ y^2 - y^5/1280 ]_{0}^{8}
V2 = \pi [ (8^2 - 8^5/1280) - (0^2 - 0^5/1280) ]
V2 = \pi [ 64 - 32768/1280 ]
V2 = \pi [ 64 - 32768/1280 ] = \pi [ 64 - 25.6 ]
V2 = 38.4 \pi

Total volume benda putar V = V1 + V2 = (2/3)\pi + 38.4 \pi = (0.666... + 38.4) \pi = 39.066... \pi = 1172/30 \pi.