Tentukanlah Daerah Penyelesaian untuk Sistem Pertidaksamaan

Daerah di antara garis y = -x - 4 dan y = -x + 2

Pembahasan

Untuk menentukan Daerah Penyelesaian (DP) dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut:
1. -x - y ≤ 4
2. x + y ≤ 2

Kita akan menggambar garis dari masing-masing pertidaksamaan dan menentukan area yang memenuhi kedua kondisi tersebut.

Langkah 1: Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan garis.
1. -x - y = 4
2. x + y = 2

Langkah 2: Cari titik potong sumbu untuk masing-masing garis.
Untuk garis 1 (-x - y = 4):
Jika x = 0, maka -y = 4 => y = -4. Titik potong sumbu y adalah (0, -4).
Jika y = 0, maka -x = 4 => x = -4. Titik potong sumbu x adalah (-4, 0).

Untuk garis 2 (x + y = 2):
Jika x = 0, maka y = 2. Titik potong sumbu y adalah (0, 2).
Jika y = 0, maka x = 2. Titik potong sumbu x adalah (2, 0).

Langkah 3: Gambar kedua garis pada sistem koordinat Kartesius.
Garis pertama (-x - y = 4) akan melalui titik (-4, 0) dan (0, -4).
Garis kedua (x + y = 2) akan melalui titik (2, 0) dan (0, 2).

Langkah 4: Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
Untuk pertidaksamaan -x - y ≤ 4:
Uji titik (0,0): -0 - 0 ≤ 4 => 0 ≤ 4 (Benar). Maka, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu di atas atau di sebelah kanan garis -x - y = 4.

Untuk pertidaksamaan x + y ≤ 2:
Uji titik (0,0): 0 + 0 ≤ 2 => 0 ≤ 2 (Benar). Maka, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0), yaitu di bawah atau di sebelah kiri garis x + y = 2.

Langkah 5: Tentukan Daerah Penyelesaian (DP) gabungan.
DP adalah irisan dari daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut. Ini adalah daerah di bawah garis x + y = 2 DAN di atas garis -x - y = 4.

Untuk visualisasi yang lebih jelas, Anda dapat menggambar grafiknya:
- Garis -x - y = 4 (atau y = -x - 4) miring ke bawah dari kiri ke kanan, melewati (-4,0) dan (0,-4).
- Garis x + y = 2 (atau y = -x + 2) miring ke bawah dari kiri ke kanan, melewati (2,0) dan (0,2).

Perhatikan bahwa kedua garis ini sejajar karena memiliki gradien yang sama (-1).

Daerah penyelesaian untuk -x - y ≤ 4 adalah area di atas atau di sisi kiri garis -x - y = 4.
Daerah penyelesaian untuk x + y ≤ 2 adalah area di bawah atau di sisi kiri garis x + y = 2.

Karena kedua garis sejajar, daerah penyelesaian gabungan adalah strip di antara kedua garis tersebut, yang mencakup area di bawah garis x + y = 2 dan di atas garis -x - y = 4. Karena kedua pertidaksamaan menggunakan simbol '≤' dan kedua garisnya tidak berpotongan (mereka sejajar), DP-nya adalah daerah tak terbatas yang berada di antara kedua garis tersebut dan ke arah tertentu.

Secara spesifik, daerahnya adalah area yang memenuhi:
1. y ≥ -x - 4
2. y ≤ -x + 2

Ini berarti DP adalah daerah di antara dua garis paralel tersebut.