Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian dari:

Hasil bagi: $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$, Sisa: $0$.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari $(x^6-1) : (x+1)$, kita dapat menggunakan metode pembagian polinomial atau teorema sisa dan hasil bagi.

Menggunakan Teorema Sisa dan Hasil Bagi:
Kita dapat menggunakan pembagian sintetik (metode Horner).
Polinomial yang dibagi adalah $P(x) = x^6 - 1$. Koefisiennya adalah 1 (untuk $x^6$), 0 (untuk $x^5, x^4, x^3, x^2, x^1$), dan -1 (untuk konstanta).
Pembagi adalah $x+1$, yang berarti kita menggunakan $-1$ dalam pembagian sintetik.

```
-1 | 1   0   0   0   0   0   -1
  |    -1   1  -1   1  -1    1
  --------------------------
    1  -1   1  -1   1  -1    0
```

Hasil bagi adalah koefisien dari baris terbawah, dimulai dari pangkat tertinggi yang berkurang satu dari pangkat tertinggi polinomial awal (yaitu $x^5$).
Hasil bagi: $1x^5 - 1x^4 + 1x^3 - 1x^2 + 1x^1 - 1 = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$
Sisa pembagian adalah angka terakhir di baris terbawah, yaitu $0$.

Menggunakan Pembagian Polinomial Panjang:
```
        x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1
      ____________________________
x+1 | x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1
      -(x^6 + x^5)
      ____________________________
            -x^5 + 0x^4
          -(-x^5 - x^4)
          ____________________________
                 x^4 + 0x^3
               -(x^4 + x^3)
               ____________________________
                     -x^3 + 0x^2
                   -(-x^3 - x^2)
                   ____________________________
                          x^2 + 0x
                        -(x^2 + x)
                        ____________________________
                              -x - 1
                            -(-x - 1)
                            __________
                                   0
```

Hasil bagi adalah $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$ dan sisa pembagiannya adalah $0$.

Alternatif lain menggunakan identitas selisih kuadrat:
$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3-1)(x^3+1)$
Kita tahu bahwa $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$.
Jadi, $x^6 - 1 = (x^3-1)(x+1)(x^2-x+1)$.
Ketika $(x^6-1)$ dibagi dengan $(x+1)$, hasilnya adalah $(x^3-1)(x^2-x+1)$.
Sekarang kita perlu mengalikan hasil ini:
$(x^3-1)(x^2-x+1) = x^3(x^2-x+1) - 1(x^2-x+1)$
$= x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$
Karena $x^6-1$ dapat difaktorkan menjadi $(x+1)$ dikalikan dengan $(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)$, maka sisa pembagiannya adalah $0$.