Tentukanlah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan

$x \leq -3$ atau $-2 < x \leq 2$ atau $x > 4$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional $\frac{x^2+x-6}{x^2-2x-8} \geq 0$, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu.

Pembilang: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$
Akar-akar pembilang adalah $x = -3$ dan $x = 2$.

Penyebut: $x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)$
Akar-akar penyebut adalah $x = 4$ dan $x = -2$.

Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol, sehingga $x \neq 4$ dan $x \neq -2$.

Sekarang kita memiliki titik-titik kritis: -3, -2, 2, dan 4. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi 5 interval:
1. $x < -3$
2. $-3 < x < -2$
3. $-2 < x < 2$
4. $2 < x < 4$
5. $x > 4$

Kita perlu menguji tanda dari $\frac{(x+3)(x-2)}{(x-4)(x+2)}$ di setiap interval.

1. Interval $x < -3$: Pilih $x = -4$. $\frac{(-4+3)(-4-2)}{(-4-4)(-4+2)} = \frac{(-1)(-6)}{(-8)(-2)} = \frac{6}{16} > 0$. Maka, daerah ini memenuhi pertidaksamaan.
2. Interval $-3 < x < -2$: Pilih $x = -2.5$. $\frac{(-2.5+3)(-2.5-2)}{(-2.5-4)(-2.5+2)} = \frac{(0.5)(-4.5)}{(-6.5)(-0.5)} = \frac{-2.25}{3.25} < 0$. Maka, daerah ini tidak memenuhi pertidaksamaan.
3. Interval $-2 < x < 2$: Pilih $x = 0$. $\frac{(0+3)(0-2)}{(0-4)(0+2)} = \frac{(3)(-2)}{(-4)(2)} = \frac{-6}{-8} > 0$. Maka, daerah ini memenuhi pertidaksamaan.
4. Interval $2 < x < 4$: Pilih $x = 3$. $\frac{(3+3)(3-2)}{(3-4)(3+2)} = \frac{(6)(1)}{(-1)(5)} = \frac{6}{-5} < 0$. Maka, daerah ini tidak memenuhi pertidaksamaan.
5. Interval $x > 4$: Pilih $x = 5$. $\frac{(5+3)(5-2)}{(5-4)(5+2)} = \frac{(8)(3)}{(1)(7)} = \frac{24}{7} > 0$. Maka, daerah ini memenuhi pertidaksamaan.

Karena pertidaksamaan adalah $\geq 0$, kita menyertakan akar pembilang ($x=-3$ dan $x=2$) tetapi tidak menyertakan akar penyebut ($x=-2$ dan $x=4$).

Hasilnya adalah $x \leq -3$ atau $-2 < x \leq 2$ atau $x > 4$.