Terdapat dua garis, yaitu g=3 y=x dan l ekuivalen x=y/3.

Persamaan lingkaran adalah (x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 18/5.

Pembahasan

Garis g memiliki persamaan \(y = x\), yang dapat ditulis sebagai \(x - y = 0\). Garis l memiliki persamaan \(x = y/3\), yang dapat ditulis sebagai \(3x - y = 0\). Kedua garis ini berpotongan di titik asal (0,0) dan memiliki gradien yang sama jika ditulis dalam bentuk \(y=mx+c\), yaitu m=1 untuk garis g dan m=1/3 untuk garis l. Namun, soal menyatakan kedua garis menyinggung lingkaran. Pusat lingkaran adalah P(-a, -a) dengan a > 0, yang berarti pusat lingkaran berada di kuadran ketiga. Jari-jari lingkaran adalah \(r = \frac{6}{\sqrt{10}}\). Jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari. 

Rumus jarak dari titik \((x_0, y_0)\) ke garis \(Ax + By + C = 0\) adalah \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\). 

Untuk garis g (x - y = 0) dan pusat P(-a, -a):
\(\frac{|1(-a) - 1(-a) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a + a|}{\sqrt{2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0\).
Ini berarti pusat lingkaran berada pada garis g, yang kontradiksi dengan syarat menyinggung kecuali jari-jari = 0.

Untuk garis l (3x - y = 0) dan pusat P(-a, -a):
\(\frac{|3(-a) - 1(-a) + 0|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3a + a|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-2a|}{\sqrt{10}} = \frac{2a}{\sqrt{10}}\)
Karena jari-jari \(r = \frac{6}{\sqrt{10}}\), maka \(\frac{2a}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}}\). Ini memberikan \(2a = 6\), sehingga \(a = 3\). 

Jadi, pusat lingkaran adalah P(-3, -3) dan jari-jari \(r = \frac{6}{\sqrt{10}}\). Persamaan lingkaran dengan pusat \((h, k)\) dan jari-jari \(r\) adalah \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). 

Substitusikan P(-3, -3) dan \(r = \frac{6}{\sqrt{10}}\):
\((x - (-3))^2 + (y - (-3))^2 = (\frac{6}{\sqrt{10}})^2\)
\((x + 3)^2 + (y + 3)^2 = \frac{36}{10}\)
\((x + 3)^2 + (y + 3)^2 = \frac{18}{5}\)

Perlu dicatat bahwa ada inkonsistensi dalam soal karena garis g (y=x) melewati titik asal (0,0). Jika lingkaran menyinggung garis y=x dan berpusat di (-a,-a), maka garis y=x haruslah tegak lurus dengan garis yang menghubungkan pusat ke titik singgung. Namun, jika kita mengabaikan garis g dan hanya menggunakan garis l dan pusat lingkaran, kita mendapatkan persamaan di atas. Jika kedua garis memang merupakan garis singgung dan berpusat di P(-a,-a), maka jarak dari P ke kedua garis harus sama. Jarak ke y=x adalah 0 jika pusatnya terletak pada garis y=x, yang berarti a=0, tapi diberikan a>0. Ada kemungkinan penafsiran lain dari soal.