Diketahuikubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus 10 cm. Titik

4√5 cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak di tengah-tengah rusuk AB dan EF.
Kita ingin mencari jarak titik C ke bidang DPQH.
Bidang DPQH dibentuk oleh titik D, P (tengah AB), Q (tengah EF), dan H.
Untuk mencari jarak titik ke bidang, kita dapat menggunakan konsep vektor atau proyeksi.
Namun, dalam kasus ini, kita bisa menggunakan pendekatan geometris.
Perhatikan bidang ADHE. Garis DH dan AE tegak lurus dengan bidang ABFE. Titik P ada di AB, titik Q ada di EF. Bidang DPQH memiliki orientasi tertentu.
Salah satu cara adalah dengan mencari persamaan bidang DPQH dan kemudian menghitung jarak titik C ke bidang tersebut.
Alternatif lain, kita bisa mencari bidang yang tegak lurus dengan bidang DPQH dan melalui C, lalu mencari titik potongnya.

Mari kita tempatkan kubus dalam sistem koordinat.
A = (0,0,0), B = (10,0,0), C = (10,10,0), D = (0,10,0)
E = (0,0,10), F = (10,0,10), G = (10,10,10), H = (0,10,10)

P adalah titik tengah AB, jadi P = (5,0,0).
Q adalah titik tengah EF, jadi Q = (5,0,10).

Titik-titik yang membentuk bidang DPQH adalah D(0,10,0), P(5,0,0), Q(5,0,10), H(0,10,10).

Kita bisa mencari vektor normal bidang DPQH.
Vektor DP = P - D = (5, -10, 0)
Vektor DH = H - D = (0, 0, 10)

Vektor normal N = DP x DH = 
  | i   j   k  |
  | 5  -10  0  |
  | 0   0   10 |
= i(-100 - 0) - j(50 - 0) + k(0 - 0)
= -100i - 50j

Persamaan bidang melalui D(0,10,0) dengan normal N = (-100, -50, 0) adalah:
-100(x - 0) - 50(y - 10) + 0(z - 0) = 0
-100x - 50y + 500 = 0
Bagi dengan -50: 2x + y - 10 = 0

Sekarang kita cari jarak titik C(10,10,0) ke bidang 2x + y - 10 = 0.
Jarak = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / akar(A² + B² + C²)
Di sini, A=2, B=1, C=0, D=-10, x₀=10, y₀=10, z₀=0.

Jarak = |2(10) + 1(10) + 0(0) - 10| / akar(2² + 1² + 0²)
Jarak = |20 + 10 - 10| / akar(4 + 1)
Jarak = |20| / akar(5)
Jarak = 20 / akar(5)
Jarak = 20 * akar(5) / 5
Jarak = 4 * akar(5)

Satuan jarak adalah cm.