Kelas 10Kelas 11Kelas 12mathAljabar
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku
Pertanyaan
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2, diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2, maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Beda barisan aritmetika tersebut adalah ....
Solusi
Verified
8
Pembahasan
Mari kita analisis soal ini langkah demi langkah untuk menemukan beda barisan aritmetika. Misalkan tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah $a$, $a+b$, dan $a+2b$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda barisan aritmetika. Kondisi pertama: Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2, diperoleh barisan geometri. Suku-suku baru tersebut adalah: $a$, $(a+b)-2$, $(a+2b)+2$. Agar membentuk barisan geometri, berlaku perbandingan antara suku-suku yang berdekatan adalah konstan. Jadi: $\rac{(a+b)-2}{a} = \rac{(a+2b)+2}{(a+b)-2}$ $((a+b)-2)^2 = a((a+2b)+2)$ $(a+b)^2 - 4(a+b) + 4 = a^2 + 2ab + 2a$ $(a^2 + 2ab + b^2) - 4a - 4b + 4 = a^2 + 2ab + 2a$ $b^2 - 4a - 4b + 4 = 2a$ $b^2 - 4b + 4 = 6a$ $(b-2)^2 = 6a$ ... (Persamaan 1) Kondisi kedua: Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2, maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Suku ketiga barisan aritmetika adalah $a+2b$. $ (a+2b) + 2 = 4a$ $2b + 2 = 3a$ $a = \rac{2b+2}{3}$ ... (Persamaan 2) Sekarang kita substitusikan Persamaan 2 ke dalam Persamaan 1: $(b-2)^2 = 6 \ imes \rac{2b+2}{3}$ $(b-2)^2 = 2(2b+2)$ $b^2 - 4b + 4 = 4b + 4$ $b^2 - 4b - 4b + 4 - 4 = 0$ $b^2 - 8b = 0$ $b(b-8) = 0$ Dari sini kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk $b$: 1. $b = 0$. Jika $b=0$, maka barisan aritmetikanya adalah $a, a, a$. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2, menjadi $a, a-2, a+2$. Ini bukan barisan geometri kecuali $a=0$, yang membuat semua suku menjadi 0. Jika $a=0$ dan $b=0$, maka $a=0$. $4a = 4(0)=0$. $a+2b+2 = 0+0+2=2$. $2 eq 0$. Jadi $b=0$ bukan solusi. 2. $b-8 = 0$, sehingga $b = 8$. Jika $b=8$, mari kita cek apakah kondisi kedua terpenuhi. Substitusikan $b=8$ ke Persamaan 2 untuk mencari $a$: $a = \rac{2(8)+2}{3} = \rac{16+2}{3} = \rac{18}{3} = 6$. Jadi, suku pertama barisan aritmetika adalah $a=6$ dan bedanya adalah $b=8$. Barisan aritmetikanya adalah 6, 14, 22. Mari kita periksa kedua kondisi: Kondisi 1: Suku baru: $a=6$, $(a+b)-2 = 14-2 = 12$, $(a+2b)+2 = 22+2 = 24$. Barisan barunya adalah 6, 12, 24. Ini adalah barisan geometri karena $12/6 = 2$ dan $24/12 = 2$. Kondisi terpenuhi. Kondisi 2: Suku ketiga ditambah 2: $(a+2b)+2 = 22+2 = 24$. Suku pertama: $a=6$. Apakah $24 = 4 imes 6$? Ya, $24 = 24$. Kondisi terpenuhi. Karena kedua kondisi terpenuhi dengan $b=8$, maka beda barisan aritmetika tersebut adalah 8.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Barisan Dan Deret
Section: Barisan Aritmetika Dan Geometri
Apakah jawaban ini membantu?