Tiga buah bilangan (2-2x), (x-2), (3x-2) membentuk barisan

300

Pembahasan

Diketahui tiga bilangan \( (2-2x), (x-2), (3x-2) \) membentuk barisan aritmatika. Dalam barisan aritmatika, selisih antara dua suku berurutan adalah konstan (disebut beda, \( b \)).

Oleh karena itu, kita dapat menuliskan:

\( (x-2) - (2-2x) = (3x-2) - (x-2) \)

Sederhanakan kedua sisi:

Sisi kiri: \( x - 2 - 2 + 2x = 3x - 4 \)

Sisi kanan: \( 3x - 2 - x + 2 = 2x \)

Samakan kedua sisi:

\( 3x - 4 = 2x \)

Pindahkan \( 2x \) ke sisi kiri dan \( -4 \) ke sisi kanan:

\( 3x - 2x = 4 \)

\( x = 4 \)

Sekarang kita substitusikan nilai \( x=4 \) ke dalam ketiga bilangan tersebut:

Suku pertama \( (a) = 2 - 2(4) = 2 - 8 = -6 \)

Suku kedua \( = 4 - 2 = 2 \)

Suku ketiga \( = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10 \)

Barisan aritmatikanya adalah \( -6, 2, 10, \dots \).

Beda barisan \( (b) = 2 - (-6) = 8 \) atau \( 10 - 2 = 8 \).

Jika ketiga bilangan itu diteruskan hingga 10 suku, kita perlu mencari jumlah 10 suku pertama ( \( S_{10} \)).
Rumus jumlah \( n \) suku pertama barisan aritmatika adalah:

\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)b] \)

Dengan \( n=10 \), \( a=-6 \), dan \( b=8 \):

\( S_{10} = \frac{10}{2} [2(-6) + (10-1)8] \)

\( S_{10} = 5 [-12 + (9)8] \)

\( S_{10} = 5 [-12 + 72] \)

\( S_{10} = 5 [60] \)

\( S_{10} = 300 \)

Jadi, jika ketiga bilangan itu diteruskan hingga 10 suku, maka jumlahnya adalah 300.