Titik belok fungsi y=sin x-cos x pada interval [0, pi]

Titik beloknya adalah \((\pi/4, 0)\).

Pembahasan

Untuk menentukan titik belok fungsi \(y = \sin x - \cos x\) pada interval \([0, \pi]\), kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan kedua bernilai nol atau tidak terdefinisi, serta bagaimana perubahan tanda di sekitarnya.

Langkah 1: Cari turunan pertama \(y'\).
\(y = \sin x - \cos x\)
\(y' = d/dx (\sin x - \cos x) = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x\).

Langkah 2: Cari turunan kedua \(y''\).
\(y'' = d/dx (\cos x + \sin x) = -\sin x + \cos x\).

Langkah 3: Tentukan nilai \(x\) di mana \(y'' = 0\) atau tidak terdefinisi dalam interval \([0, \pi]\).
\(y'' = -\sin x + \cos x = 0\)
\(\cos x = \sin x\).
Ini terjadi ketika \(\tan x = 1\).
Dalam interval \([0, \pi]\), \(\tan x = 1\) terjadi pada \(x = \pi/4\).

Langkah 4: Periksa perubahan tanda \(y''\) di sekitar \(x = \pi/4\) dalam interval \([0, \pi]\).
Kita perlu menguji nilai \(x\) pada interval \([0, \pi/4)\) dan \((\pi/4, \pi]\).

Ambil \(x = \pi/6\) (dalam \([0, \pi/4)\)):
\(y''(\pi/6) = -\sin(\pi/6) + \cos(\pi/6) = -(1/2) + (\sqrt{3}/2) = (\sqrt{3}-1)/2\).
Karena \(\sqrt{3} \approx 1.732\), maka \(\sqrt{3}-1 > 0\), sehingga \(y''(\pi/6) > 0\). Ini berarti fungsi cekung ke atas pada interval ini.

Ambil \(x = \pi/2\) (dalam \((\pi/4, \pi]\)):
\(y''(\pi/2) = -\sin(\pi/2) + \cos(\pi/2) = -(1) + (0) = -1\).
Karena \(y''(\pi/2) < 0\), ini berarti fungsi cekung ke bawah pada interval ini.

Karena terjadi perubahan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah di \(x = \pi/4\), maka \(x = \pi/4\) adalah absis titik belok.

Langkah 5: Cari nilai \(y\) pada \(x = \pi/4\) untuk mendapatkan koordinat titik belok.
\(y(\pi/4) = \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = (\sqrt{2}/2) - (\sqrt{2}/2) = 0\).

Jadi, titik belok fungsi \(y = \sin x - \cos x\) pada interval \([0, \pi]\) adalah \((\pi/4, 0)\).