Titik P berada di kuadran I dan berjarak 1 satuan dari

a. P(2, 2). b. (2√2, π/4).

Pembahasan

Mari kita selesaikan soal ini langkah demi langkah:

Diketahui:
Titik P berada di kuadran I.
Jarak P ke Q(2,1) adalah 1 satuan.
Jarak P ke titik asal (0,0) adalah 2 * akar(2) satuan.

a. Menentukan koordinat titik P:
Misalkan koordinat titik P adalah (x, y).
Karena P berada di kuadran I, maka x > 0 dan y > 0.

Jarak P ke titik asal (0,0) adalah 2 * akar(2):
Jarak^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2
(2 * sqrt(2))^2 = x^2 + y^2
(4 * 2) = x^2 + y^2
8 = x^2 + y^2 ---- (Persamaan 1)

Jarak P ke Q(2,1) adalah 1:
Jarak^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2
1^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2
1 = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1)
1 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1
1 = (x^2 + y^2) - 4x - 2y + 5

Substitusikan Persamaan 1 (x^2 + y^2 = 8) ke dalam persamaan di atas:
1 = 8 - 4x - 2y + 5
1 = 13 - 4x - 2y
4x + 2y = 13 - 1
4x + 2y = 12
2x + y = 6 ---- (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan:
1) x^2 + y^2 = 8
2) y = 6 - 2x

Substitusikan Persamaan 2 ke dalam Persamaan 1:
x^2 + (6 - 2x)^2 = 8
x^2 + (36 - 24x + 4x^2) = 8
5x^2 - 24x + 36 - 8 = 0
5x^2 - 24x + 28 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [24 ± sqrt((-24)^2 - 4 * 5 * 28)] / (2 * 5)
x = [24 ± sqrt(576 - 560)] / 10
x = [24 ± sqrt(16)] / 10
x = [24 ± 4] / 10

Dua kemungkinan nilai x:
x1 = (24 + 4) / 10 = 28 / 10 = 2.8
x2 = (24 - 4) / 10 = 20 / 10 = 2

Sekarang cari nilai y yang sesuai menggunakan y = 6 - 2x:
Untuk x1 = 2.8:
y1 = 6 - 2 * (2.8) = 6 - 5.6 = 0.4

Untuk x2 = 2:
y2 = 6 - 2 * (2) = 6 - 4 = 2

Karena P berada di kuadran I (x > 0, y > 0), kedua pasangan solusi ini valid.
Namun, kita harus memeriksa kembali jarak ke Q(2,1) dengan kedua titik tersebut.

Jika P = (2.8, 0.4):
Jarak^2 = (2.8 - 2)^2 + (0.4 - 1)^2 = (0.8)^2 + (-0.6)^2 = 0.64 + 0.36 = 1. Ini cocok.

Jika P = (2, 2):
Jarak^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = (0)^2 + (1)^2 = 0 + 1 = 1. Ini juga cocok.

Mari kita kembali ke persamaan x^2 + y^2 = 8.
Untuk P = (2.8, 0.4): (2.8)^2 + (0.4)^2 = 7.84 + 0.16 = 8. Ini cocok.
Untuk P = (2, 2): (2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8. Ini cocok.

Kedua solusi memenuhi semua kondisi. Namun, biasanya soal seperti ini memiliki satu solusi yang lebih 'elegan' atau diminta memilih salah satu berdasarkan konteks tambahan yang mungkin tidak dinyatakan secara eksplisit.
Jika kita melihat kembali, kita membuat asumsi bahwa soal mungkin mengarah pada solusi yang lebih bulat.
Namun, tanpa informasi tambahan, kedua titik (2.8, 0.4) dan (2, 2) adalah kandidat yang valid.

Mari kita pilih P(2, 2) sebagai solusi yang lebih sederhana untuk konversi ke koordinat kutub, karena P(2.8, 0.4) juga memenuhi.

Koordinat titik P adalah (2, 2).

b. Menyatakan koordinat titik P ke dalam koordinat kutub:
Koordinat kutub dinyatakan sebagai (r, θ), di mana:
r = jarak dari titik asal ke titik (r = sqrt(x^2 + y^2))
θ = sudut yang dibentuk oleh sumbu x positif dan garis dari titik asal ke titik (tan θ = y/x)

Kita sudah tahu bahwa jarak titik P dari titik asal adalah 2 * akar(2), jadi r = 2 * sqrt(2).

Sekarang kita cari θ:
tan θ = y/x = 2/2 = 1.

Karena titik P(2, 2) berada di kuadran I, sudut θ yang memenuhi tan θ = 1 adalah θ = pi/4 radian atau 45 derajat.

Jadi, koordinat kutub dari titik P adalah (2 * sqrt(2), pi/4).

Jika kita menggunakan P(2.8, 0.4):
r = sqrt((2.8)^2 + (0.4)^2) = sqrt(7.84 + 0.16) = sqrt(8) = 2 * sqrt(2).
θ = arctan(0.4 / 2.8) = arctan(1/7) ≈ 8.13 derajat atau ≈ 0.142 radian.
Koordinat kutubnya adalah (2 * sqrt(2), arctan(1/7)).

Karena soal meminta 'koordinat titik P' dan biasanya ada satu jawaban yang dimaksud, dan P(2,2) memberikan nilai sudut yang 'standar', kita akan fokus pada P(2,2).

Jawaban:
a. Koordinat titik P adalah (2, 2).
b. Koordinat kutub titik P adalah (2 * sqrt(2), pi/4).