Titik P(pi, k) terletak pada kurva y=2 x . tan x Tentukan

y = 2πx - 2π²

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva \(y = 2x \tan x\) di titik \(P(\pi, k)\), kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Tentukan nilai \(k\) dengan mensubstitusikan \(x = \pi\) ke dalam persamaan kurva.
\(k = y = 2(\pi) \tan(\pi)\)
Karena \(\tan(\pi) = 0\), maka:
\(k = 2\pi \times 0 = 0\)
Jadi, titik \(P\) adalah \((\pi, 0)\).

Langkah 2: Cari turunan pertama dari fungsi \(y = 2x \tan x\) untuk mendapatkan gradien garis singgung.
Kita gunakan aturan perkalian \((uv)' = u'v + uv'\) dengan \(u = 2x\) dan \(v = \tan x\).
\(u' = 2\)
\(v' = \sec^2 x\)

Maka, \(y' = (2)(\tan x) + (2x)(\sec^2 x)\)
\(y' = 2 \tan x + 2x \sec^2 x\)

Langkah 3: Hitung gradien garis singgung (m) di titik \(P(\pi, 0)\) dengan mensubstitusikan \(x = \pi\) ke dalam \(y'\).
\(m = y'(\pi) = 2 \tan(\pi) + 2(\pi) \sec^2(\pi)\)
Karena \(\tan(\pi) = 0\) dan \(\sec(\pi) = 1 / \cos(\pi) = 1 / (-1) = -1\), maka \(\sec^2(\pi) = (-1)^2 = 1\).
\(m = 2(0) + 2\pi(1) = 0 + 2\pi = 2\pi\)

Langkah 4: Gunakan rumus persamaan garis singgung \(y - y_1 = m(x - x_1)\) dengan \((x_1, y_1) = (\pi, 0)\) dan \(m = 2\pi\).
\(y - 0 = 2\pi(x - \pi)\)
\(y = 2\pi x - 2\pi^2\)

Jadi, persamaan garis singgung kurva \(y = 2x \tan x\) di titik \(P(\pi, k)\) adalah \(y = 2\pi x - 2\pi^2\).