Titik R (3,-2) terletak di luar lingkaran yang berpusat di

Gradien garis singgung adalah sqrt(66)/3 atau -sqrt(66)/3.

Pembahasan

Lingkaran berpusat di P(3,3) dengan jari-jari r = akar(3). Titik R(3,-2) terletak di luar lingkaran.
Jarak PR = sqrt((3-3)^2 + (3-(-2))^2) = sqrt(0^2 + 5^2) = sqrt(25) = 5.
Misalkan garis singgung menyentuh lingkaran di titik T(x,y).
Gradien jari-jari PT tegak lurus dengan gradien garis singgung RT.
Gradien PT = (y-3)/(x-3).
Gradien RT = (y-(-2))/(x-3) = (y+2)/(x-3).
Karena tegak lurus, gradien PT * gradien RT = -1.
((y-3)/(x-3)) * ((y+2)/(x-3)) = -1
(y-3)(y+2) = -(x-3)^2
y^2 - y - 6 = -(x^2 - 6x + 9)
y^2 - y - 6 = -x^2 + 6x - 9
x^2 + y^2 - 6x - y + 3 = 0.
Karena T(x,y) terletak pada lingkaran, maka (x-3)^2 + (y-3)^2 = (akar(3))^2 = 3.
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 3
x^2 + y^2 - 6x - 6y + 15 = 0.
Kita punya dua persamaan:
1) x^2 + y^2 - 6x - y + 3 = 0
2) x^2 + y^2 - 6x - 6y + 15 = 0
Kurangkan persamaan (2) dari (1):
(x^2 + y^2 - 6x - y + 3) - (x^2 + y^2 - 6x - 6y + 15) = 0
-y + 6y + 3 - 15 = 0
5y - 12 = 0
y = 12/5.
Substitusikan y = 12/5 ke persamaan (2):
x^2 + (12/5)^2 - 6x - 6(12/5) + 15 = 0
x^2 + 144/25 - 6x - 72/5 + 15 = 0
x^2 - 6x + 144/25 - 360/25 + 375/25 = 0
x^2 - 6x + 159/25 = 0
Kalikan 25: 25x^2 - 150x + 159 = 0.
Gradien garis singgung RT = (y+2)/(x-3) = (12/5 + 2)/(x-3) = (22/5)/(x-3).
Untuk mencari nilai x, gunakan rumus kuadrat: x = [-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [150 +/- sqrt((-150)^2 - 4*25*159)] / (2*25)
x = [150 +/- sqrt(22500 - 15900)] / 50
x = [150 +/- sqrt(6600)] / 50
x = [150 +/- 10*sqrt(66)] / 50
x = (15 +/- sqrt(66)) / 5.
Jika x = (15 + sqrt(66)) / 5:
Gradien = (22/5) / ((15 + sqrt(66))/5 - 3) = (22/5) / ((15 + sqrt(66) - 15)/5) = (22/5) / (sqrt(66)/5) = 22/sqrt(66) = 22*sqrt(66)/66 = sqrt(66)/3.
Jika x = (15 - sqrt(66)) / 5:
Gradien = (22/5) / ((15 - sqrt(66))/5 - 3) = (22/5) / ((15 - sqrt(66) - 15)/5) = (22/5) / (-sqrt(66)/5) = -22/sqrt(66) = -sqrt(66)/3.