Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n>=10, berlaku

Menggunakan induksi matematika, basis induksi (n=10) benar (2^10 > 10^3). Asumsi induksi 2^k > k^3. Langkah induktif menunjukkan bahwa 2^(k+1) > (k+1)^3 dengan membandingkan 2k^3 dengan (k+1)^3, yang terbukti benar untuk k >= 10.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n ≥ 10, berlaku 2^n > n^3 menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 10, kita periksa apakah 2^10 > 10^3.
2^10 = 1024
10^3 = 1000
Karena 1024 > 1000, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 10.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k ≥ 10, yaitu 2^k > k^3.

Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1, yaitu 2^(k+1) > (k+1)^3.

Dari asumsi induksi, kita tahu bahwa 2^k > k^3.
Kalikan kedua sisi dengan 2:
2 * 2^k > 2 * k^3
2^(k+1) > 2k^3

Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa 2k^3 > (k+1)^3 untuk k ≥ 10.
Mari kita bandingkan 2k^3 dengan (k+1)^3:
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

Kita ingin menunjukkan bahwa 2k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1, yang setara dengan menunjukkan k^3 - 3k^2 - 3k - 1 > 0.

Mari kita periksa nilai k^3 - 3k^2 - 3k - 1 untuk k ≥ 10:
Untuk k = 10: 10^3 - 3(10^2) - 3(10) - 1 = 1000 - 300 - 30 - 1 = 669 > 0.

Kita bisa membuktikan lebih lanjut bahwa f(k) = k^3 - 3k^2 - 3k - 1 adalah fungsi yang meningkat untuk k ≥ 10. Turunan pertama f'(k) = 3k^2 - 6k - 3. Untuk k ≥ 10, f'(k) positif, yang berarti f(k) meningkat.
Karena f(10) > 0 dan f(k) meningkat untuk k ≥ 10, maka k^3 - 3k^2 - 3k - 1 > 0 untuk semua k ≥ 10.

Ini berarti 2k^3 > (k+1)^3 untuk k ≥ 10.

Karena kita memiliki 2^(k+1) > 2k^3 dan 2k^3 > (k+1)^3, maka dapat disimpulkan bahwa 2^(k+1) > (k+1)^3.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n ≥ 10, berlaku 2^n > n^3.