Kelas 10mathGeometri
Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(3,6), B(0,3) , dan
Pertanyaan
Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(3,6), B(0,3) , dan C(6,0). P membagi garis AB dengan perbandingan 1: 2, Q membagi garis CA dengan perbandingan 1: 2 , dan R membagi garis BC dengan perbandingan 4:-1. a. Tentukanlah koordinat P, Q, dan R. b. Perlihatkan bahwa P, Q , dan R segaris dan tentukanlah PQ: QR.
Solusi
Verified
a. P(2, 5), Q(5, 2), R(8, -1). b. P, Q, R segaris karena gradien PQ = gradien QR = -1. Rasio PQ:QR = 1:1.
Pembahasan
Diberikan segitiga ABC dengan titik sudut A(3,6), B(0,3), dan C(6,0). P membagi garis AB dengan perbandingan 1:2. Q membagi garis CA dengan perbandingan 1:2. R membagi garis BC dengan perbandingan 4:-1. a. Menentukan koordinat P, Q, dan R. Rumus koordinat titik P yang membagi garis AB dengan perbandingan m:n adalah: P = ( (n*xA + m*xB)/(m+n), (n*yA + m*yB)/(m+n) ) Untuk P (mem பாதிக்கிறது AB, perbandingan 1:2, A(3,6), B(0,3)): m=1, n=2 xP = (2*3 + 1*0)/(1+2) = (6 + 0)/3 = 6/3 = 2 yP = (2*6 + 1*3)/(1+2) = (12 + 3)/3 = 15/3 = 5 Jadi, koordinat P adalah (2, 5). Untuk Q (mem பாதிக்கிறது CA, perbandingan 1:2, C(6,0), A(3,6)): m=1, n=2 xQ = (2*xC + 1*xA)/(1+2) = (2*6 + 1*3)/(1+2) = (12 + 3)/3 = 15/3 = 5 yQ = (2*yC + 1*yA)/(1+2) = (2*0 + 1*6)/(1+2) = (0 + 6)/3 = 6/3 = 2 Jadi, koordinat Q adalah (5, 2). Untuk R (mem பாதிக்கிறது BC, perbandingan 4:-1, B(0,3), C(6,0)): m=4, n=-1 xR = (-1*xB + 4*xC)/(4+(-1)) = (-1*0 + 4*6)/3 = (0 + 24)/3 = 24/3 = 8 yR = (-1*yB + 4*yC)/(4+(-1)) = (-1*3 + 4*0)/3 = (-3 + 0)/3 = -3/3 = -1 Jadi, koordinat R adalah (8, -1). Koordinat P, Q, dan R adalah P(2, 5), Q(5, 2), dan R(8, -1). b. Memperlihatkan bahwa P, Q, dan R segaris dan menentukan rasio PQ:QR. Untuk menunjukkan bahwa P, Q, dan R segaris, kita bisa memeriksa gradien (kemiringan) garis yang menghubungkan pasangan titik-titik tersebut. Jika gradien PQ sama dengan gradien QR, maka ketiga titik tersebut segaris. Gradien PQ (mPQ): mPQ = (yQ - yP) / (xQ - xP) = (2 - 5) / (5 - 2) = -3 / 3 = -1 Gradien QR (mQR): mQR = (yR - yQ) / (xR - xQ) = (-1 - 2) / (8 - 5) = -3 / 3 = -1 Karena mPQ = mQR = -1, maka titik P, Q, dan R adalah segaris (kolinear). Menentukan rasio PQ:QR. Kita bisa menggunakan jarak antara titik-titik tersebut atau vektor. Menggunakan jarak: Jarak PQ = sqrt((xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2) = sqrt((5 - 2)^2 + (2 - 5)^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2) Jarak QR = sqrt((xR - xQ)^2 + (yR - yQ)^2) = sqrt((8 - 5)^2 + (-1 - 2)^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2) Rasio PQ:QR = (3*sqrt(2)) : (3*sqrt(2)) = 1:1. Alternatif menggunakan vektor: vektor PQ = Q - P = (5-2, 2-5) = (3, -3) vektor QR = R - Q = (8-5, -1-2) = (3, -3) Karena vektor PQ = vektor QR, ini menunjukkan bahwa P, Q, dan R segaris dan jaraknya sama. Oleh karena itu, rasio PQ:QR adalah 1:1.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Vektor Dan Geometri Koordinat
Section: Menentukan Kekolinearan Titik, Pembagian Garis Oleh Titik
Apakah jawaban ini membantu?