Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(3,6), B(0,3) , dan

a. P(2, 5), Q(5, 2), R(8, -1). b. P, Q, R segaris karena gradien PQ = gradien QR = -1. Rasio PQ:QR = 1:1.

Pembahasan

Diberikan segitiga ABC dengan titik sudut A(3,6), B(0,3), dan C(6,0).

P membagi garis AB dengan perbandingan 1:2.
Q membagi garis CA dengan perbandingan 1:2.
R membagi garis BC dengan perbandingan 4:-1.

a. Menentukan koordinat P, Q, dan R.
Rumus koordinat titik P yang membagi garis AB dengan perbandingan m:n adalah:
P = ( (n*xA + m*xB)/(m+n), (n*yA + m*yB)/(m+n) )

Untuk P (mem பாதிக்கிறது AB, perbandingan 1:2, A(3,6), B(0,3)):
m=1, n=2
xP = (2*3 + 1*0)/(1+2) = (6 + 0)/3 = 6/3 = 2
yP = (2*6 + 1*3)/(1+2) = (12 + 3)/3 = 15/3 = 5
Jadi, koordinat P adalah (2, 5).

Untuk Q (mem பாதிக்கிறது CA, perbandingan 1:2, C(6,0), A(3,6)):
m=1, n=2
xQ = (2*xC + 1*xA)/(1+2) = (2*6 + 1*3)/(1+2) = (12 + 3)/3 = 15/3 = 5
yQ = (2*yC + 1*yA)/(1+2) = (2*0 + 1*6)/(1+2) = (0 + 6)/3 = 6/3 = 2
Jadi, koordinat Q adalah (5, 2).

Untuk R (mem பாதிக்கிறது BC, perbandingan 4:-1, B(0,3), C(6,0)):
m=4, n=-1
xR = (-1*xB + 4*xC)/(4+(-1)) = (-1*0 + 4*6)/3 = (0 + 24)/3 = 24/3 = 8
yR = (-1*yB + 4*yC)/(4+(-1)) = (-1*3 + 4*0)/3 = (-3 + 0)/3 = -3/3 = -1
Jadi, koordinat R adalah (8, -1).

Koordinat P, Q, dan R adalah P(2, 5), Q(5, 2), dan R(8, -1).

b. Memperlihatkan bahwa P, Q, dan R segaris dan menentukan rasio PQ:QR.
Untuk menunjukkan bahwa P, Q, dan R segaris, kita bisa memeriksa gradien (kemiringan) garis yang menghubungkan pasangan titik-titik tersebut. Jika gradien PQ sama dengan gradien QR, maka ketiga titik tersebut segaris.

Gradien PQ (mPQ):
mPQ = (yQ - yP) / (xQ - xP) = (2 - 5) / (5 - 2) = -3 / 3 = -1

Gradien QR (mQR):
mQR = (yR - yQ) / (xR - xQ) = (-1 - 2) / (8 - 5) = -3 / 3 = -1

Karena mPQ = mQR = -1, maka titik P, Q, dan R adalah segaris (kolinear).

Menentukan rasio PQ:QR.
Kita bisa menggunakan jarak antara titik-titik tersebut atau vektor.

Menggunakan jarak:
Jarak PQ = sqrt((xQ - xP)^2 + (yQ - yP)^2) = sqrt((5 - 2)^2 + (2 - 5)^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2)
Jarak QR = sqrt((xR - xQ)^2 + (yR - yQ)^2) = sqrt((8 - 5)^2 + (-1 - 2)^2) = sqrt(3^2 + (-3)^2) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2)

Rasio PQ:QR = (3*sqrt(2)) : (3*sqrt(2)) = 1:1.

Alternatif menggunakan vektor:

vektor PQ = Q - P = (5-2, 2-5) = (3, -3)
vektor QR = R - Q = (8-5, -1-2) = (3, -3)

Karena vektor PQ = vektor QR, ini menunjukkan bahwa P, Q, dan R segaris dan jaraknya sama. Oleh karena itu, rasio PQ:QR adalah 1:1.