Tunjukkan bahwa: cos alpha=2 cos^2 (1/2 alpha) - 1=1-2sin^2

Menggunakan identitas trigonometri sudut tengahan, cos(alpha) = cos^2(1/2 alpha) - sin^2(1/2 alpha). Dengan substitusi identitas Pythagoras, kita dapat menurunkan cos(alpha) = 2 cos^2(1/2 alpha) - 1 dan cos(alpha) = 1 - 2 sin^2(1/2 alpha).

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa cos alpha = 2 cos^2 (1/2 alpha) - 1 dan cos alpha = 1 - 2 sin^2 (1/2 alpha), kita dapat menggunakan identitas trigonometri sudut tengahan.

Dimulai dengan identitas penjumlahan kosinus: cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B.

Jika kita menetapkan A = 1/2 alpha dan B = 1/2 alpha, maka:
cos(1/2 alpha + 1/2 alpha) = cos(1/2 alpha)cos(1/2 alpha) - sin(1/2 alpha)sin(1/2 alpha)
cos(alpha) = cos^2(1/2 alpha) - sin^2(1/2 alpha)

Sekarang, kita dapat menggunakan identitas Pythagoras, sin^2(x) + cos^2(x) = 1, yang berarti sin^2(1/2 alpha) = 1 - cos^2(1/2 alpha).

Substitusikan ini ke dalam persamaan cos(alpha):
cos(alpha) = cos^2(1/2 alpha) - (1 - cos^2(1/2 alpha))
cos(alpha) = cos^2(1/2 alpha) - 1 + cos^2(1/2 alpha)
cos(alpha) = 2 cos^2(1/2 alpha) - 1

Ini menunjukkan identitas pertama.

Selanjutnya, kita juga bisa menggunakan identitas Pythagoras, cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Jadi, cos^2(1/2 alpha) = 1 - sin^2(1/2 alpha).

Substitusikan ini ke dalam persamaan awal cos(alpha) = cos^2(1/2 alpha) - sin^2(1/2 alpha):
cos(alpha) = (1 - sin^2(1/2 alpha)) - sin^2(1/2 alpha)
cos(alpha) = 1 - 2 sin^2(1/2 alpha)

Ini menunjukkan identitas kedua.