Tunjukkan bahwa salah satu akar persamaan suku banyak

Akar terletak di antara 0,5 dan 1. Pendekatan akar adalah 0,68.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa salah satu akar persamaan suku banyak `x^3 + x - 1 = 0` terletak di antara 0,5 dan 1, kita dapat menggunakan Teorema Nilai Antara. Mari kita evaluasi fungsi `f(x) = x^3 + x - 1` pada titik-titik ujung interval.

Pada x = 0,5:
`f(0,5) = (0,5)^3 + 0,5 - 1`
`f(0,5) = 0,125 + 0,5 - 1`
`f(0,5) = 0,625 - 1`
`f(0,5) = -0,375`

Pada x = 1:
`f(1) = (1)^3 + 1 - 1`
`f(1) = 1 + 1 - 1`
`f(1) = 1`

Karena `f(0,5)` bernilai negatif dan `f(1)` bernilai positif, dan fungsi `f(x)` adalah fungsi polinomial yang kontinu, Teorema Nilai Antara menjamin bahwa ada setidaknya satu akar di antara 0,5 dan 1.

Sekarang, mari kita tentukan pendekatan akar persamaan tersebut dengan dibulatkan hingga dua tempat desimal menggunakan metode Biseksi atau metode Newton-Raphson. Kita akan menggunakan metode Biseksi.

Iterasi 1:
Interval: [0,5, 1]
Titik tengah: `(0,5 + 1) / 2 = 0,75`
`f(0,75) = (0,75)^3 + 0,75 - 1`
`f(0,75) = 0,421875 + 0,75 - 1`
`f(0,75) = 1,171875 - 1`
`f(0,75) = 0,171875` (Positif)

Karena `f(0,75)` positif, akar berada di interval [0,5, 0,75].

Iterasi 2:
Interval: [0,5, 0,75]
Titik tengah: `(0,5 + 0,75) / 2 = 0,625`
`f(0,625) = (0,625)^3 + 0,625 - 1`
`f(0,625) = 0,244140625 + 0,625 - 1`
`f(0,625) = 0,869140625 - 1`
`f(0,625) = -0,130859375` (Negatif)

Karena `f(0,625)` negatif, akar berada di interval [0,625, 0,75].

Iterasi 3:
Interval: [0,625, 0,75]
Titik tengah: `(0,625 + 0,75) / 2 = 0,6875`
`f(0,6875) = (0,6875)^3 + 0,6875 - 1`
`f(0,6875) = 0,32568359375 + 0,6875 - 1`
`f(0,6875) = 1,01318359375 - 1`
`f(0,6875) = 0,01318359375` (Positif)

Karena `f(0,6875)` positif, akar berada di interval [0,625, 0,6875].

Iterasi 4:
Interval: [0,625, 0,6875]
Titik tengah: `(0,625 + 0,6875) / 2 = 0,65625`
`f(0,65625) = (0,65625)^3 + 0,65625 - 1`
`f(0,65625) = 0,282470703125 + 0,65625 - 1`
`f(0,65625) = 0,938720703125 - 1`
`f(0,65625) = -0,061279296875` (Negatif)

Karena `f(0,65625)` negatif, akar berada di interval [0,65625, 0,6875].

Iterasi 5:
Interval: [0,65625, 0,6875]
Titik tengah: `(0,65625 + 0,6875) / 2 = 0,671875`
`f(0,671875) = (0,671875)^3 + 0,671875 - 1`
`f(0,671875) = 0,3035125732421875 + 0,671875 - 1`
`f(0,671875) = 0,9753875732421875 - 1`
`f(0,671875) = -0,0246124267578125` (Negatif)

Karena `f(0,671875)` negatif, akar berada di interval [0,671875, 0,6875].

Iterasi 6:
Interval: [0,671875, 0,6875]
Titik tengah: `(0,671875 + 0,6875) / 2 = 0,6796875`
`f(0,6796875) = (0,6796875)^3 + 0,6796875 - 1`
`f(0,6796875) = 0,3144559860229492 + 0,6796875 - 1`
`f(0,6796875) = 0,9941434860229492 - 1`
`f(0,6796875) = -0,005856513977050781` (Negatif)

Karena `f(0,6796875)` negatif, akar berada di interval [0,6796875, 0,6875].

Iterasi 7:
Interval: [0,6796875, 0,6875]
Titik tengah: `(0,6796875 + 0,6875) / 2 = 0,68359375`
`f(0,68359375) = (0,68359375)^3 + 0,68359375 - 1`
`f(0,68359375) = 0,31999878883361816 + 0,68359375 - 1`
`f(0,68359375) = 1,0035925388336182 - 1`
`f(0,68359375) = 0,003592538833618164` (Positif)

Akar berada di interval [0,6796875, 0,68359375].

Untuk membulatkan hingga dua tempat desimal, kita perlu melanjutkan iterasi sampai lebar interval cukup kecil. Mari kita perkirakan bahwa akar kira-kira di tengah interval terakhir ini, sekitar 0,68. Mari kita cek nilai f(x) di sekitar 0,68.
`f(0,68) = (0,68)^3 + 0,68 - 1`
`f(0,68) = 0,314432 + 0,68 - 1`
`f(0,68) = 0,994432 - 1`
`f(0,68) = -0,005568` (Negatif)

`f(0,69) = (0,69)^3 + 0,69 - 1`
`f(0,69) = 0,328509 + 0,69 - 1`
`f(0,69) = 1,018509 - 1`
`f(0,69) = 0,018509` (Positif)

Karena `f(0,68)` negatif dan `f(0,69)` positif, akar terletak di antara 0,68 dan 0,69. Nilai `f(0,68)` lebih dekat ke nol daripada `f(0,69)`. Jadi, pendekatan akar yang dibulatkan hingga dua tempat desimal adalah 0,68.