Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n:

Pernyataan tersebut terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa persamaan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n, kita akan menggunakan metode pembuktian induksi matematika.

Misalkan P(n) adalah pernyataan: 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^(n-1)(n-1)^2 + (-1)^n n^2 = (-1)^n (1 + 2 + ... + n).

Langkah 1: Basis Induksi (Buktikan P(1) benar).
Untuk n = 1:
Sisi kiri: (-1)^1 * 1^2 = -1
Sisi kanan: (-1)^1 * (1) = -1
Karena sisi kiri = sisi kanan, maka P(1) benar.

Langkah 2: Hipotesis Induksi (Asumsikan P(k) benar untuk suatu bilangan bulat positif k).
Asumsikan bahwa:
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^(k-1)(k-1)^2 + (-1)^k k^2 = (-1)^k (1 + 2 + ... + k)

Langkah 3: Langkah Induksi (Buktikan P(k+1) benar).
Kita perlu menunjukkan bahwa:
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^k k^2 + (-1)^(k+1)(k+1)^2 = (-1)^(k+1) (1 + 2 + ... + k + (k+1))

Kita mulai dari sisi kiri P(k+1) dan gunakan hipotesis induksi P(k):
Sisi kiri P(k+1) = [ 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^k k^2 ] + (-1)^(k+1)(k+1)^2

Berdasarkan hipotesis induksi P(k), bagian dalam kurung siku adalah (-1)^k (1 + 2 + ... + k).
Jadi, sisi kiri P(k+1) = (-1)^k (1 + 2 + ... + k) + (-1)^(k+1)(k+1)^2

Kita tahu bahwa 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2.
Jadi, sisi kiri P(k+1) = (-1)^k [k(k+1)/2] + (-1)^(k+1)(k+1)^2

Faktorkan (-1)^k dan (k+1):
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^k (k+1) [ k/2 + (-1)(k+1) ]
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^k (k+1) [ k/2 - (k+1) ]
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^k (k+1) [ k/2 - 2(k+1)/2 ]
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^k (k+1) [ (k - 2k - 2) / 2 ]
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^k (k+1) [ (-k - 2) / 2 ]
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^k (k+1) [ -(k + 2) / 2 ]
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^k * (-1) * (k+1)(k+2) / 2
Sisi kiri P(k+1) = (-1)^(k+1) * (k+1)(k+2) / 2

Sekarang kita lihat sisi kanan P(k+1):
Sisi kanan P(k+1) = (-1)^(k+1) (1 + 2 + ... + k + (k+1))
Sisi kanan P(k+1) = (-1)^(k+1) [ (k+1)(k+1+1) / 2 ]
Sisi kanan P(k+1) = (-1)^(k+1) [ (k+1)(k+2) / 2 ]

Membandingkan sisi kiri dan sisi kanan P(k+1):
Sisi kiri = (-1)^(k+1) * (k+1)(k+2) / 2
Sisi kanan = (-1)^(k+1) * (k+1)(k+2) / 2

Kedua sisi sama. Oleh karena itu, P(k+1) benar jika P(k) benar.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^n(n-1)^2 + (-1)^n n^2 = (-1)^n (1 + 2 + ... + n) terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n.