Untuk 0<=x<=360, himpunan penyelesaian dari sinx-akar(3)

{120°, 180°}

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari himpunan penyelesaian dari persamaan sin(x) - √3 cos(x) - √3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.

Langkah 1: Ubah persamaan ke bentuk yang lebih mudah dikelola.
Kita bisa membagi seluruh persamaan dengan √3 untuk menyederhanakan koefisien:
(sin(x) / √3) - cos(x) - 1 = 0
(sin(x) / √3) - cos(x) = 1

Langkah 2: Gunakan identitas trigonometri.
Persamaan ini mirip dengan bentuk R sin(x - α) atau R cos(x + α). Mari kita coba ubah ke bentuk R sin(x - α).
Kita tahu bahwa R sin(x - α) = R (sin x cos α - cos x sin α).
Kita ingin mencocokkan ini dengan (1/√3)sin(x) - cos(x).

Jika kita membandingkan koefisien:
R cos α = 1/√3
R sin α = 1

Kuadratkan dan jumlahkan kedua persamaan:
(R cos α)^2 + (R sin α)^2 = (1/√3)^2 + 1^2
R^2 (cos^2 α + sin^2 α) = 1/3 + 1
R^2 (1) = 4/3
R = √(4/3) = 2/√3.

Sekarang cari α:
Tan α = (R sin α) / (R cos α) = 1 / (1/√3) = √3.
Nilai α yang memenuhi tan α = √3 adalah 60° (atau π/3 radian).

Jadi, persamaan (1/√3)sin(x) - cos(x) = 1 dapat ditulis sebagai:
(2/√3) sin(x - 60°) = 1
sin(x - 60°) = √3 / 2.

Langkah 3: Cari nilai sudutnya.
Kita tahu bahwa sin(θ) = √3 / 2 ketika θ = 60° atau θ = 120° (dalam rentang 0° hingga 180°).
Jadi, kita punya dua kemungkinan:

Kasus 1: x - 60° = 60°
x = 60° + 60°
x = 120°.

Kasus 2: x - 60° = 120°
x = 120° + 60°
x = 180°.

Kita perlu memeriksa apakah ada solusi lain dalam rentang 0° ≤ x ≤ 360°.
Karena fungsi sinus periodik dengan periode 360°, kita bisa menambahkan kelipatan 360° ke sudut-sudut ini.

Untuk Kasus 1: x - 60° = 60° + 360°n
x = 120° + 360°n
Jika n=0, x = 120°.
Jika n=1, x = 480° (di luar rentang).

Untuk Kasus 2: x - 60° = 120° + 360°n
x = 180° + 360°n
Jika n=0, x = 180°.
Jika n=1, x = 540° (di luar rentang).

Mari kita verifikasi kedua solusi ini dalam persamaan asli sin(x) - √3 cos(x) - √3 = 0:

Untuk x = 120°:
sin(120°) - √3 cos(120°) - √3
= (√3 / 2) - √3 (-1/2) - √3
= √3 / 2 + √3 / 2 - √3
= √3 - √3 = 0. (Solusi benar)

Untuk x = 180°:
sin(180°) - √3 cos(180°) - √3
= 0 - √3 (-1) - √3
= 0 + √3 - √3 = 0. (Solusi benar)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 180°}.