Kelas 12Kelas 11mathMatematika EkonomiProgram Linear
Untuk kebal dari penyakit, bebek pada usia satu minggu
Pertanyaan
Seorang peternak mempunyai 1.000 ekor bebek. Untuk kebal dari penyakit, bebek pada usia satu minggu harus diberi vaksin. Setiap ekor bebek, minimal memerlukan 12 unit zat A dan 12 unit zat B. Di pasaran tersedia dua jenis vaksin, yaitu vaksin M dan vaksin N. Satu bungkus vaksin M mengandung 1 unit zat A dan 3 unit zat B, sedangkan vaksin N mengandung 3 unit zat A dan 1 unit zat B. Harga per bungkus vaksin M adalah Rp1.000,00 dan vaksin N adalah Rp1.500,00. Berapa biaya minimum yang harus dikeluarkan dalam satu kali vaksinasi agar bebek tahan dari penyakit?
Solusi
Verified
Rp7.500.000
Pembahasan
Ini adalah soal program linear. Misalkan: x = jumlah bungkus vaksin M y = jumlah bungkus vaksin N Kebutuhan per bebek: Zat A minimal 12 unit Zat B minimal 12 unit Kandungan vaksin: Vaksin M: 1 unit Zat A, 3 unit Zat B Vaksin N: 3 unit Zat A, 1 unit Zat B Untuk 1000 ekor bebek, kebutuhan total: Zat A minimal: 1000 * 12 = 12000 unit Zat B minimal: 1000 * 12 = 12000 unit Kendala: 1. Kandungan Zat A: x + 3y >= 12000 2. Kandungan Zat B: 3x + y >= 12000 3. Jumlah vaksin tidak negatif: x >= 0, y >= 0 Fungsi tujuan (yang ingin diminimumkan adalah biaya): Biaya = 1000x + 1500y Kita perlu mencari nilai minimum dari fungsi biaya dengan memenuhi kendala-kendala tersebut. Langkah-langkahnya adalah: 1. Menggambar daerah penyelesaian dari kendala. 2. Mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian. 3. Menghitung nilai fungsi tujuan di setiap titik pojok. Mari kita cari titik potong dari garis kendala: Garis 1: x + 3y = 12000 Garis 2: 3x + y = 12000 Dari Garis 2, y = 12000 - 3x. Substitusikan ke Garis 1: x + 3(12000 - 3x) = 12000 x + 36000 - 9x = 12000 -8x = 12000 - 36000 -8x = -24000 x = 3000 Substitusikan x = 3000 ke y = 12000 - 3x: y = 12000 - 3(3000) y = 12000 - 9000 y = 3000 Titik potongnya adalah (3000, 3000). Titik pojok lainnya adalah perpotongan garis kendala dengan sumbu x dan y: - Perpotongan x + 3y = 12000 dengan sumbu x (y=0): x = 12000. Titik (12000, 0) - Perpotongan x + 3y = 12000 dengan sumbu y (x=0): 3y = 12000 => y = 4000. Titik (0, 4000) - Perpotongan 3x + y = 12000 dengan sumbu x (y=0): 3x = 12000 => x = 4000. Titik (4000, 0) - Perpotongan 3x + y = 12000 dengan sumbu y (x=0): y = 12000. Titik (0, 12000) Daerah penyelesaian yang memenuhi ketiga kendala (x>=0, y>=0, x + 3y >= 12000, 3x + y >= 12000) memiliki titik pojok pada perpotongan garis kendala yang relevan. Titik pojok yang perlu diuji adalah: 1. (0, 12000) 2. (4000, 0) 3. (3000, 3000) <-- Titik potong kedua garis Kita juga perlu memeriksa apakah titik (0, 4000) dan (12000, 0) memenuhi kedua ketidaksetaraan. Misalnya, untuk (0, 4000): 0 + 3(4000) = 12000 (memenuhi kendala 1), 3(0) + 4000 = 4000 (tidak memenuhi kendala 2 karena harus >= 12000). Jadi (0, 4000) bukan titik pojok yang valid untuk daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kedua garis. Begitu juga dengan (12000, 0). 12000 + 3(0) = 12000 (memenuhi kendala 1), 3(12000) + 0 = 36000 (memenuhi kendala 2). Jadi (12000, 0) juga bukan titik pojok yang valid. Titik pojok yang valid adalah titik-titik yang berada pada batas daerah yang memenuhi semua kendala. Dalam kasus ini, titik-titik yang memenuhi adalah: - Titik potong dari 3x + y = 12000 dengan sumbu x (y=0) yaitu (4000, 0) - ini tidak memenuhi x+3y >= 12000, karena 4000 < 12000. Jadi salah. - Titik potong dari x + 3y = 12000 dengan sumbu y (x=0) yaitu (0, 4000) - ini tidak memenuhi 3x+y >= 12000, karena 4000 < 12000. Jadi salah. Titik pojok yang benar adalah: 1. Titik potong 3x + y = 12000 dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 12000). Periksa kendala lain: 0 + 3(12000) = 36000 >= 12000 (memenuhi). Jadi (0, 12000) adalah titik pojok. 2. Titik potong x + 3y = 12000 dengan sumbu x (y=0) adalah (12000, 0). Periksa kendala lain: 3(12000) + 0 = 36000 >= 12000 (memenuhi). Jadi (12000, 0) adalah titik pojok. 3. Titik potong antara x + 3y = 12000 dan 3x + y = 12000 adalah (3000, 3000). Titik ini memenuhi kedua kendala. Sekarang kita hitung biaya di setiap titik pojok: 1. Di (0, 12000): Biaya = 1000(0) + 1500(12000) = 0 + 18.000.000 = Rp18.000.000 2. Di (12000, 0): Biaya = 1000(12000) + 1500(0) = 12.000.000 + 0 = Rp12.000.000 3. Di (3000, 3000): Biaya = 1000(3000) + 1500(3000) = 3.000.000 + 4.500.000 = Rp7.500.000 Biaya minimum adalah Rp7.500.000 yang diperoleh ketika peternak membeli 3000 bungkus vaksin M dan 3000 bungkus vaksin N.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Optimasi, Fungsi Objektif
Section: Menentukan Biaya Minimum Menggunakan Program Linear
Apakah jawaban ini membantu?