The normal to the curve h(x)=2x^2+ax+1 at point (-1,2) is

Nilai $a=1$, dan garis normal bertemu kembali dengan kurva di $(2/3, 23/9)$.

Pembahasan

Diberikan kurva $h(x) = 2x^2 + ax + 1$. Garis normal pada kurva di titik $(-1, 2)$ sejajar dengan garis $x = 3y - 9$.

Pertama, kita cari gradien garis normal. Gradien garis $x = 3y - 9$ dapat dicari dengan mengubahnya ke bentuk $y = mx + c$. 
$$3y = x + 9$$
$$y = (1/3)x + 3$$
Gradien garis ini adalah $m_{garis} = 1/3$.
Karena garis normal sejajar dengan garis ini, maka gradien garis normal adalah $m_{normal} = 1/3$.

Gradien garis singgung pada kurva $h(x)$ di suatu titik adalah turunan pertama dari $h(x)$ di titik tersebut. 
$$h'(x) = d/dx (2x^2 + ax + 1) = 4x + a$$
Gradien garis singgung di titik $(-1, 2)$ adalah $h'(-1) = 4(-1) + a = -4 + a$.

Karena garis normal tegak lurus dengan garis singgung, maka hasil kali gradien garis normal dan gradien garis singgung adalah -1:
$$m_{normal} \times m_{singgung} = -1$$
$$(1/3) \times (-4 + a) = -1$$
Multiply both sides by 3:
$$-4 + a = -3$$
$$a = -3 + 4$$
$$a = 1$$

Jadi, nilai $a = 1$. Persamaan kurva menjadi $h(x) = 2x^2 + x + 1$. Gradien garis singgung di $(-1, 2)$ adalah $h'(-1) = 4(-1) + 1 = -3$. Gradien normal adalah $-1/(-3) = 1/3$, yang sesuai.

Sekarang, kita perlu mencari persamaan garis normal. Garis normal melalui titik $(-1, 2)$ dengan gradien $m_{normal} = 1/3$. 
Persamaan garis normal (menggunakan bentuk titik-gradien $y - y_1 = m(x - x_1)$):
$$y - 2 = (1/3)(x - (-1))$$
$$y - 2 = (1/3)(x + 1)$$
$$3(y - 2) = x + 1$$
$$3y - 6 = x + 1$$
$$3y = x + 7$$
$$y = (1/3)x + 7/3$$

Selanjutnya, kita cari koordinat titik di mana garis normal ini memotong kurva lagi. Kita samakan persamaan kurva dengan persamaan garis normal:
$$2x^2 + ax + 1 = (1/3)x + 7/3$$
Substitusikan $a=1$:
$$2x^2 + x + 1 = (1/3)x + 7/3$$
Kalikan seluruh persamaan dengan 3 untuk menghilangkan pecahan:
$$6x^2 + 3x + 3 = x + 7$$
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
$$6x^2 + 3x - x + 3 - 7 = 0$$
$$6x^2 + 2x - 4 = 0$$
Bagi seluruh persamaan dengan 2:
$$3x^2 + x - 2 = 0$$
Kita faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $3 \times -2 = -6$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $1$. Bilangan tersebut adalah $3$ dan $-2$.
$$3x^2 + 3x - 2x - 2 = 0$$
$$3x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$$
$$(3x - 2)(x + 1) = 0$$
Ini memberikan dua solusi untuk x:
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2/3$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Kita sudah tahu bahwa garis normal memotong kurva di $x = -1$ (titik yang diberikan). Titik potong lainnya adalah ketika $x = 2/3$.

Sekarang kita cari nilai y untuk $x = 2/3$ menggunakan persamaan garis normal (atau persamaan kurva):
Menggunakan persamaan garis normal: $y = (1/3)x + 7/3$
$$y = (1/3)(2/3) + 7/3$$
$$y = 2/9 + 7/3$$
Untuk menjumlahkannya, samakan penyebutnya menjadi 9:
$$y = 2/9 + (7 \times 3)/(3 \times 3)$$
$$y = 2/9 + 21/9$$
$$y = 23/9$$

Jadi, nilai $a = 1$ dan koordinat titik di mana garis normal bertemu kembali dengan kurva adalah $(2/3, 23/9)$.