Untuk setiap bentuk berikut; nyatakan ke dalam bentuk

4 cos(x) cos(x/2) cos(23x/2)

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menyatakan bentuk penjumlahan cosinus menjadi bentuk perkalian. Kita dapat menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan sudut untuk menyederhanakan ekspresi ini.

Rumus yang relevan adalah:
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Kita dapat mengelompokkan suku-suku dalam ekspresi:
(cos 10x + cos 13x) + (cos 11x + cos 12x)

Menerapkan rumus pada kelompok pertama:
cos 10x + cos 13x = 2 cos((10x+13x)/2) cos((10x-13x)/2)
= 2 cos(23x/2) cos(-3x/2)
= 2 cos(23x/2) cos(3x/2) (karena cos(-θ) = cos(θ))

Menerapkan rumus pada kelompok kedua:
cos 11x + cos 12x = 2 cos((11x+12x)/2) cos((11x-12x)/2)
= 2 cos(23x/2) cos(-x/2)
= 2 cos(23x/2) cos(x/2)

Sekarang, kita gabungkan kedua hasil tersebut:
2 cos(23x/2) cos(3x/2) + 2 cos(23x/2) cos(x/2)

Kita dapat memfaktorkan 2 cos(23x/2):
2 cos(23x/2) [cos(3x/2) + cos(x/2)]

Menerapkan rumus penjumlahan cosinus lagi pada [cos(3x/2) + cos(x/2)]:
cos(3x/2) + cos(x/2) = 2 cos(((3x/2)+(x/2))/2) cos(((3x/2)-(x/2))/2)
= 2 cos((4x/2)/2) cos((2x/2)/2)
= 2 cos(2x/2) cos(x/2)
= 2 cos(x) cos(x/2)

Jadi, ekspresi lengkapnya menjadi:
2 cos(23x/2) [2 cos(x) cos(x/2)]
= 4 cos(x) cos(x/2) cos(23x/2)

Oleh karena itu, bentuk perkalian dari cos 10x + cos 11x + cos 12x + cos 13x adalah 4 cos(x) cos(x/2) cos(23x/2).