Untuk setiap n>=3 bilangan asli, buktikan bahwa (n^3-n)

Terbukti habis dibagi 3 karena (n^3-n) = (n-1)n(n+1), perkalian tiga bilangan bulat berurutan.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa (n^3 - n) habis dibagi 3 untuk setiap n ≥ 3 bilangan asli, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika atau faktorisasi.

Metode 1: Faktorisasi

1. Faktorkan ekspresi n^3 - n:
n^3 - n = n(n^2 - 1)

2. Gunakan rumus selisih dua kuadrat (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)) pada (n^2 - 1):
n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)

3. Urutkan faktor-faktornya:
n^3 - n = (n - 1) * n * (n + 1)

4. Analisis hasil faktorisasi:
Ekspresi (n - 1) * n * (n + 1) adalah hasil perkalian tiga bilangan bulat berurutan. Dalam setiap tiga bilangan bulat berurutan, pasti ada satu bilangan yang habis dibagi 3.

Contoh:
Jika n = 3, maka (3-1)*3*(3+1) = 2 * 3 * 4 = 24. 24 habis dibagi 3.
Jika n = 4, maka (4-1)*4*(4+1) = 3 * 4 * 5 = 60. 60 habis dibagi 3.
Jika n = 5, maka (5-1)*5*(5+1) = 4 * 5 * 6 = 120. 120 habis dibagi 3.

Karena salah satu dari tiga bilangan berurutan tersebut pasti habis dibagi 3, maka hasil perkalian ketiganya juga pasti habis dibagi 3.

Metode 2: Prinsip Induksi Matematika

Langkah Dasar (Basis Induksi):
Untuk n = 3, periksa apakah (3^3 - 3) habis dibagi 3.
3^3 - 3 = 27 - 3 = 24.
24 habis dibagi 3. Jadi, pernyataan berlaku untuk n = 3.

Langkah Induksi:
Asumsikan bahwa pernyataan berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu (k^3 - k) habis dibagi 3. Ini berarti k^3 - k = 3m untuk suatu bilangan bulat m.

Sekarang, kita perlu membuktikan bahwa pernyataan berlaku untuk n = k + 1, yaitu ((k+1)^3 - (k+1)) habis dibagi 3.

((k+1)^3 - (k+1)) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k + 1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1
= k^3 + 3k^2 + 2k

Kita bisa menulis ulang ekspresi ini dengan memasukkan asumsi induksi (k^3 - k = 3m):
= (k^3 - k) + k + 3k^2 + 2k
= (k^3 - k) + 3k^2 + 3k
= 3m + 3k^2 + 3k
= 3(m + k^2 + k)

Karena (m + k^2 + k) adalah bilangan bulat (karena m, k adalah bilangan bulat), maka 3(m + k^2 + k) pasti habis dibagi 3.

Jadi, berdasarkan prinsip induksi matematika, (n^3 - n) habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n ≥ 3.