Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. 4

Penyelesaian pertidaksamaan ini memerlukan analisis kasus yang kompleks berdasarkan nilai mutlak dan pecahan, seringkali membutuhkan bantuan komputasi.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $4x - \left|\frac{x}{2x-1}\right| < \frac{1}{x}$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam nilai mutlak dan penyebutnya.

Kasus 1: $\frac{x}{2x-1} \ge 0$
Ini terjadi ketika $x \le 0$ atau $x > \frac{1}{2}$.
Dalam kasus ini, $|\frac{x}{2x-1}| = \frac{x}{2x-1}$.
Pertidaksamaan menjadi: $4x - \frac{x}{2x-1} < \frac{1}{x}$
Kita perlu memastikan $x \ne 0$ dan $x \ne \frac{1}{2}$.
Kalikan kedua sisi dengan $x(2x-1)$ (perhatikan tanda jika $x(2x-1)$ negatif):
Jika $x > \frac{1}{2}$ (maka $x > 0$ dan $2x-1 > 0$, jadi $x(2x-1) > 0$):
$4x^2(2x-1) - x^2 < 2x-1$
$8x^3 - 4x^2 - x^2 < 2x-1$
$8x^3 - 5x^2 - 2x + 1 < 0$

Jika $x < 0$ (maka $x < 0$ dan $2x-1 < 0$, jadi $x(2x-1) > 0$):
Pertidaksamaan sama: $8x^3 - 5x^2 - 2x + 1 < 0$

Kasus 2: $\frac{x}{2x-1} < 0$
Ini terjadi ketika $0 < x < \frac{1}{2}$.
Dalam kasus ini, $|\frac{x}{2x-1}| = -\frac{x}{2x-1}$.
Pertidaksamaan menjadi: $4x - \left(-\frac{x}{2x-1}\right) < \frac{1}{x}$
$4x + \frac{x}{2x-1} < \frac{1}{x}$
Kalikan kedua sisi dengan $x(2x-1)$ (karena $0 < x < \frac{1}{2}$, maka $x > 0$ dan $2x-1 < 0$, jadi $x(2x-1) < 0$, ubah arah pertidaksamaan):
$4x^2(2x-1) + x^2 > 2x-1$
$8x^3 - 4x^2 + x^2 > 2x-1$
$8x^3 - 3x^2 > 2x-1$
$8x^3 - 3x^2 - 2x + 1 > 0$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kubik ini, kita perlu mencari akar-akarnya. Akar-akar dari $8x^3 - 5x^2 - 2x + 1 = 0$ dan $8x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0$ perlu ditemukan.

Misalkan $P(x) = 8x^3 - 5x^2 - 2x + 1$. Kita bisa mencoba akar rasional $p/q$ di mana $p$ membagi 1 dan $q$ membagi 8. Coba $x=1$: $8-5-2+1 = 2 \ne 0$. Coba $x=-1/2$: $8(-1/8) - 5(1/4) - 2(-1/2) + 1 = -1 - 5/4 + 1 + 1 = 1 - 5/4 = -1/4 \ne 0$. Coba $x=1/4$: $8(1/64) - 5(1/16) - 2(1/4) + 1 = 1/8 - 5/16 - 1/2 + 1 = (2-5-8+16)/16 = 5/16 \ne 0$. Coba $x=1/2$: $8(1/8) - 5(1/4) - 2(1/2) + 1 = 1 - 5/4 - 1 + 1 = 1 - 5/4 = -1/4 \ne 0$. Coba $x=-1$: $8(-1) - 5(1) - 2(-1) + 1 = -8 - 5 + 2 + 1 = -10 \ne 0$. Coba $x=-1/4$: $8(-1/64) - 5(1/16) - 2(-1/4) + 1 = -1/8 - 5/16 + 1/2 + 1 = (-2-5+8+16)/16 = 17/16 \ne 0$.

Karena penyelesaian manual pertidaksamaan ini sangat kompleks dan melibatkan analisis akar-akar polinomial, seringkali diperlukan bantuan perangkat lunak atau metode numerik. Tanpa informasi lebih lanjut atau penyederhanaan, memberikan penyelesaian analitik yang eksplisit untuk semua kasus sangat menantang.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal ini dirancang untuk memiliki solusi yang lebih sederhana atau jika ada kesalahan ketik, kita bisa mencoba pendekatan lain. Jika kita melihat strukturnya, ini adalah pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak dan pecahan, yang mengarah pada analisis kasus.

Penyelesaian yang akurat memerlukan pembagian domain berdasarkan akar-akar dari $\frac{x}{2x-1}$ dan penyebut $x$, serta akar-akar dari polinomial yang dihasilkan di setiap kasus. Ini adalah proses yang panjang dan rentan terhadap kesalahan jika dilakukan secara manual.