Untuk setiap x e R, nilai yang dapat dicapai oleh

\(y \ge 2\log(8)\)

Pembahasan

Fungsi yang diberikan adalah \(y = 2\log(2x^2 - 4x + 10)\). Kita perlu mencari nilai yang dapat dicapai oleh \(y\), yang berarti kita perlu mencari rentang dari fungsi ini.

Pertama, mari kita analisis argumen dari logaritma, yaitu \(2x^2 - 4x + 10\). Agar fungsi logaritma terdefinisi, argumennya harus positif. Mari kita periksa diskriminan dari persamaan kuadrat ini: \(ax^2 + bx + c\), diskriminannya adalah \(D = b^2 - 4ac\).

Untuk \(2x^2 - 4x + 10\), kita punya \(a = 2\), \(b = -4\), dan \(c = 10\).
\(D = (-4)^2 - 4(2)(10)
 D = 16 - 80
 D = -64\)

Karena diskriminan \(D < 0\) dan koefisien \(a = 2 > 0\), maka parabola \(2x^2 - 4x + 10\) selalu berada di atas sumbu x, yang berarti \(2x^2 - 4x + 10 > 0\) untuk semua nilai \(x\) real. Jadi, fungsi logaritma selalu terdefinisi.

Selanjutnya, kita perlu mencari nilai minimum dari argumen \(2x^2 - 4x + 10\). Nilai minimum dari fungsi kuadrat \(ax^2 + bx + c\) terjadi pada \(x = -b/(2a)\) dan nilainya adalah \(c - b^2/(4a)\) atau \(-D/(4a)\).

Nilai minimum dari \(2x^2 - 4x + 10\) terjadi pada \(x = -(-4)/(2 	imes 2) = 4/4 = 1\).

Nilai minimum dari argumennya adalah:
\(2(1)^2 - 4(1) + 10 = 2 - 4 + 10 = 8\).

Atau menggunakan rumus \(-D/(4a)\) : \(-(-64) / (4 \times 2) = 64 / 8 = 8\).

Jadi, nilai minimum dari \(2x^2 - 4x + 10\) adalah 8.

Sekarang, kita masukkan nilai minimum argumen ini ke dalam fungsi \(y = 2\log(2x^2 - 4x + 10)\). Asumsikan logaritma yang digunakan adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10. Dalam konteks soal tes, biasanya merujuk pada logaritma basis 10 jika tidak disebutkan secara spesifik, namun bisa juga logaritma natural. Kita akan gunakan logaritma natural (ln) sebagai contoh umum.

Jika \(\log\) merujuk pada \(\ln\):
Nilai minimum \(y\) adalah \(2 \ln(8)\).
\(y = 2 \ln(2^3) = 2 \times 3 \ln(2) = 6 \ln(2)\).
Karena \(\ln(2)\) adalah positif, maka rentang nilai \(y\) adalah \([2 \ln(8), \infty)\) atau \([6 \ln(2), \infty)\).

Jika \(\log\) merujuk pada logaritma basis 10 (log₁₀):
Nilai minimum \(y\) adalah \(2 \log_{10}(8)\).

Karena argumen \(2x^2 - 4x + 10\) dapat bernilai dari 8 hingga tak hingga (karena \(x^2\) bisa menuju tak hingga), maka nilai \(\log(2x^2 - 4x + 10)\) akan bernilai dari \(\log(8)\) hingga tak hingga.

Oleh karena itu, nilai \(y = 2\log(2x^2 - 4x + 10)\) akan bernilai dari \(2\log(8)\) hingga tak hingga.

Jadi, nilai yang dapat dicapai oleh \(y\) adalah \(y \ge 2\log(8)\). Jika basis logaritma adalah \(e\) (natural logarithm), maka \(y \ge 2\ln(8) = 6\ln(2)\). Jika basis logaritma adalah 10, maka \(y \ge 2\log_{10}(8)\).