Utang sebesar Rp. 3.300.000,00 akan diangsur setiap bulan

Utang lunas dalam 11 bulan.

Pembahasan

Ini adalah masalah anuitas sederhana atau deret aritmetika yang berkaitan dengan pelunasan utang.

Diketahui:
*   Total utang awal = Rp. 3.300.000,00
*   Angsuran pertama (a1) = Rp. 400.000,00
*   Angsuran kedua (a2) = Rp. 380.000,00

Dari angsuran pertama dan kedua, kita dapat melihat bahwa ini adalah barisan aritmetika karena ada selisih tetap antara angsuran.

1.  **Tentukan beda (d) dari barisan aritmetika:**
    Beda (d) = Angsuran kedua - Angsuran pertama
    d = Rp. 380.000,00 - Rp. 400.000,00
    d = -Rp. 20.000,00
    Ini berarti setiap bulan, jumlah angsuran berkurang Rp. 20.000,00.

2.  **Hitung jumlah total angsuran hingga utang lunas:**
    Kita perlu mencari jumlah suku (n) dari barisan aritmetika sehingga jumlah total suku (Sn) sama dengan atau melebihi total utang awal. Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika adalah:
    Sn = n/2 * [2a1 + (n-1)d]

    Kita ingin mencari n sehingga Sn = 3.300.000:
    3.300.000 = n/2 * [2*(400.000) + (n-1)*(-20.000)]
    3.300.000 = n/2 * [800.000 - 20.000n + 20.000]
    3.300.000 = n/2 * [820.000 - 20.000n]
    3.300.000 = n * [410.000 - 10.000n]
    3.300.000 = 410.000n - 10.000n^2

    Susun ulang menjadi persamaan kuadrat:
    10.000n^2 - 410.000n + 3.300.000 = 0

    Bagi seluruh persamaan dengan 10.000 untuk menyederhanakan:
    n^2 - 41n + 330 = 0

    Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat ini untuk mencari nilai n. Kita bisa menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) atau faktorisasi. Mari kita coba faktorisasi:
    Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 330 dan jika dijumlahkan hasilnya -41.
    Bilangan tersebut adalah -30 dan -11.
    (-30) * (-11) = 330
    (-30) + (-11) = -41

    Jadi, persamaan dapat difaktorkan menjadi:
    (n - 30)(n - 11) = 0

    Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk n:
    n - 30 = 0  => n = 30
    n - 11 = 0  => n = 11

3.  **Verifikasi kedua solusi:**
    *   Jika n = 11:
        S11 = 11/2 * [2*(400.000) + (11-1)*(-20.000)]
        S11 = 11/2 * [800.000 + 10*(-20.000)]
        S11 = 11/2 * [800.000 - 200.000]
        S11 = 11/2 * [600.000]
        S11 = 11 * 300.000 = 3.300.000
        Ini berarti utang lunas dalam 11 bulan.

    *   Jika n = 30:
        Mari kita cek angsuran terakhir jika n=30. Suku ke-30 (a30) = a1 + (30-1)d = 400.000 + 29*(-20.000) = 400.000 - 580.000 = -180.000. Jumlah angsuran tidak bisa negatif.
        Namun, jika kita hitung S30:
        S30 = 30/2 * [2*(400.000) + (30-1)*(-20.000)]
        S30 = 15 * [800.000 + 29*(-20.000)]
        S30 = 15 * [800.000 - 580.000]
        S30 = 15 * [220.000] = 3.300.000
        Secara matematis, kedua solusi ini benar jika barisan aritmetika bisa memiliki suku negatif. Namun, dalam konteks keuangan, kita mencari jumlah pembayaran yang pas. Suku ke-11 adalah `a11 = 400.000 + (11-1)*(-20.000) = 400.000 - 200.000 = 200.000`. Suku ke-12 adalah `a12 = 400.000 + (12-1)*(-20.000) = 400.000 - 220.000 = 180.000`.

        Karena jumlah angsuran berkurang, dan mencapai nol atau menjadi negatif, kita harus memastikan bahwa total utang lunas pada suku ke-n. Dalam kasus ini, S11 tepat sama dengan total utang.
        Jika kita lihat suku-suku angsuran: 400rb, 380rb, 360rb, ..., 200rb (suku ke-11).
        Jika diteruskan: 180rb, 160rb, ..., 0, ..., -180rb (suku ke-30).
        Ketika suku terakhir adalah 0 atau negatif, itu berarti utang sudah lunas sebelum suku tersebut.
        Jumlah angsuran ke-11 adalah 200.000, dan jumlah totalnya adalah 3.300.000.
        Jumlah angsuran ke-12 adalah 180.000. Jika kita bayar angsuran ke-12, totalnya menjadi 3.300.000 + 180.000 = 3.480.000, yang berarti kelebihan pembayaran.

Oleh karena itu, utang tersebut akan lunas dalam 11 bulan.