Vektor f dan vektor g adalah dua vektor yang sejajar.

e. (f . g)/(|f| .|g|) = 1

Pembahasan

Dua vektor dikatakan sejajar jika salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya, atau jika sudut di antara keduanya adalah 0° atau 180°. Dalam konteks dot product (hasil kali titik), hubungan antara dua vektor sejajar adalah:

Dot product dari dua vektor f dan g didefinisikan sebagai: f ⋅ g = |f| |g| cos(θ), di mana θ adalah sudut di antara kedua vektor.

Jika vektor f dan vektor g sejajar, maka sudut θ antara keduanya adalah 0° atau 180°.

*   Jika θ = 0° (vektor searah), maka cos(0°) = 1. Sehingga, f ⋅ g = |f| |g| * 1 = |f| |g|.
*   Jika θ = 180° (vektor berlawanan arah), maka cos(180°) = -1. Sehingga, f ⋅ g = |f| |g| * (-1) = -|f| |g|.

Sekarang mari kita analisis pilihan yang diberikan:

a.  f ⋅ g = 0: Ini benar jika vektor f dan g tegak lurus (ortogonal), bukan sejajar.
b.  f + g = 0: Ini benar jika f = -g, yang berarti vektor f dan g memiliki besar yang sama tetapi arah berlawanan (sejajar dan berlawanan arah).
c.  |f| ⋅ |g| = 0: Ini benar jika salah satu atau kedua vektor adalah vektor nol, yang secara teknis dapat dianggap sejajar tetapi bukan kasus umum.
d.  |f| ⋅ |g| = 1: Ini tidak selalu benar untuk vektor yang sejajar; ini hanya berlaku jika hasil kali besar kedua vektor adalah 1.
e.  (f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|) = 1: Jika kita membagi dot product dengan hasil kali besar kedua vektor, kita mendapatkan cos(θ). Jadi, (f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|) = cos(θ).
    Jika vektor sejajar (dan tidak nol), maka cos(θ) adalah 1 (jika searah) atau -1 (jika berlawanan arah).
    Jadi, pernyataan ini benar jika vektor f dan g searah (cos(θ) = 1).

Namun, jika pertanyaan mengacu pada kondisi umum vektor sejajar (baik searah maupun berlawanan arah), maka ekspresi (f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|) akan bernilai 1 atau -1. Jika kita melihat pilihan yang paling mencakup definisi ketersejajaran melalui dot product, maka kita perlu mempertimbangkan rasio dari dot product terhadap hasil kali magnitudenya.

Dalam banyak konteks, ketika dikatakan dua vektor sejajar, itu berarti salah satu adalah kelipatan skalar dari yang lain. Jika f = k * g, maka:

f ⋅ g = (k * g) ⋅ g = k * (g ⋅ g) = k * |g|^2
|f| = |k * g| = |k| * |g|

Jadi, (f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|) = (k * |g|^2) / (|k| * |g| * |g|) = (k * |g|^2) / (|k| * |g|^2) = k / |k|.

Jika k > 0 (searah), k / |k| = k / k = 1.
Jika k < 0 (berlawanan arah), k / |k| = k / (-k) = -1.

Oleh karena itu, jika vektor sejajar, maka |(f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|)| = 1. Pilihan e menyatakan (f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|) = 1, yang secara spesifik berarti vektor tersebut searah.

Namun, jika kita harus memilih satu pernyataan yang paling benar yang *terkait* dengan konsep ketersejajaran melalui dot product, dan jika kita mengasumsikan 'sejajar' bisa berarti searah atau berlawanan arah, maka kita perlu melihat opsi yang paling mendekati. Pilihan e adalah yang paling relevan karena mendefinisikan kosinus sudut antara vektor.

Mari kita tinjau kembali definisi sejajar: vektor u dan v sejajar jika u = kv untuk suatu skalar k. Dari sini, u · v = (kv) · v = k|v|^2. Juga |u| = |k||v|. Maka (u · v) / (|u||v|) = (k|v|^2) / (|k||v||v|) = k/|k|. Ini adalah 1 jika k>0 (searah) dan -1 jika k<0 (berlawanan arah). Pilihan e hanya menyatakan kasus k>0.

Namun, jika kita melihat pilihan secara keseluruhan, seringkali dalam soal pilihan ganda, ada satu jawaban yang paling tepat atau paling umum digunakan untuk mendefinisikan suatu kondisi. Dalam kasus vektor sejajar, baik searah maupun berlawanan arah, rasio dot product terhadap hasil kali magnitudenya adalah ±1. Pilihan e adalah satu-satunya yang berhubungan dengan rasio ini.

Jika kita menginterpretasikan 'sejajar' sebagai memiliki arah yang sama atau berlawanan, maka cosinus sudut antara mereka adalah 1 atau -1. Rumus kosinus sudut adalah (f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|). Jadi, pernyataan yang benar adalah bahwa nilai ini adalah 1 atau -1.

Pilihan e adalah (f ⋅ g) / (|f| ⋅ |g|) = 1. Ini benar jika vektor f dan g searah.
Jika kita harus memilih satu pernyataan yang *pasti* benar jika f dan g sejajar, maka tidak ada di antara pilihan yang secara eksklusif benar untuk *semua* kasus sejajar (kecuali jika kita menambahkan bahwa |f|⋅|g| tidak nol).

Namun, dalam konteks umum soal seperti ini, pilihan e sering dianggap sebagai representasi matematis dari ketersejajaran (khususnya searah).

Mari kita pertimbangkan jika ada interpretasi lain. Jika f dan g sejajar, maka f = k * g. Jika k=1, maka f=g, dan f.g = |f|^2, |f|.|g| = |f|^2, sehingga (f.g)/(|f|.|g|) = 1. Pilihan e benar.
Jika k=-1, maka f=-g, dan f.g = -|g|^2, |f|.|g| = |-g||g| = |g|^2, sehingga (f.g)/(|f|.|g|) = -1. Pilihan e salah.

Pilihan a, b, c, d jelas tidak selalu benar untuk vektor sejajar.

Meskipun pilihan e tidak mencakup kasus vektor berlawanan arah, seringkali dalam soal pilihan ganda, jawaban yang diberikan adalah yang paling mendekati atau mendefinisikan salah satu kasus utama. Jika diasumsikan 'sejajar' dalam konteks ini berarti 'memiliki arah yang sama', maka e adalah jawaban yang benar.

Jika kita harus memilih yang paling tepat dari pilihan yang ada yang berhubungan dengan definisi matematis ketersejajaran, maka e adalah kandidat terkuat karena melibatkan dot product dan magnitude yang merupakan cara standar untuk menentukan sudut antara vektor, dan sudut untuk vektor sejajar adalah 0 atau 180 derajat.

Mengacu pada konvensi umum dalam soal matematika, ketika ditanya pernyataan yang benar tentang vektor sejajar, dan salah satu pilihannya adalah tentang kosinus sudut yang bernilai 1 (kasus searah), ini seringkali dianggap sebagai jawaban yang dimaksud, meskipun tidak mencakup kasus berlawanan arah secara eksplisit.

Jadi, kita pilih e sebagai jawaban yang paling mungkin dimaksudkan oleh pembuat soal, dengan asumsi 'sejajar' di sini merujuk pada kondisi searah atau sebagai representasi utama ketersejajaran melalui dot product.