16^(x-3)<=(1/2)^(x^2+x-2)

$-7 \le x \le 2$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial $16^{x-3} \le \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2+x-2}$, kita perlu menyamakan basisnya terlebih dahulu. Kita tahu bahwa $16 = 2^4$ dan $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Substitusikan basis yang sama:
$(2^4)^{x-3} \le (2^{-1})^{x^2+x-2}$

Gunakan sifat eksponen $(a^m)^n = a^{mn}$:
$2^{4(x-3)} \le 2^{-1(x^2+x-2)}$
$2^{4x-12} \le 2^{-x^2-x+2}$

Karena basisnya sama (yaitu 2, yang lebih besar dari 1), kita dapat menyamakan eksponennya dengan mempertahankan arah pertidaksamaan:
$4x - 12 \le -x^2 - x + 2$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
$x^2 + 4x + x - 12 - 2 \le 0$
$x^2 + 5x - 14 \le 0$

Untuk mencari nilai $x$ yang memenuhi, kita faktorkan pertidaksamaan kuadrat tersebut:
Cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan -14 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5. Angka-angka tersebut adalah 7 dan -2.
$(x+7)(x-2) \le 0$

Titik kritisnya adalah $x = -7$ dan $x = 2$. Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini:

1. Untuk $x < -7$ (misalnya $x = -8$): $(-8+7)(-8-2) = (-1)(-10) = 10$. $10 \not\le 0$.
2. Untuk $-7 \le x \le 2$ (misalnya $x = 0$): $(0+7)(0-2) = (7)(-2) = -14$. $-14 \le 0$.
3. Untuk $x > 2$ (misalnya $x = 3$): $(3+7)(3-2) = (10)(1) = 10$. $10 \not\le 0$.

Pertidaksamaan terpenuhi pada interval $-7 \le x \le 2$.