Sederhanakan penjumlahan vektor berikut.a. PQ+RS+TP+QR+ST

a. 0, b. MQ

Pembahasan

Untuk menyederhanakan penjumlahan vektor tersebut, kita akan menggunakan sifat penjumlahan vektor:

a. PQ + RS + TP + QR + ST
Kita dapat mengatur ulang urutan vektor agar ujung vektor berdekatan dengan pangkal vektor berikutnya:
(PQ + QR) + (RS + ST) + TP
= PS + RT + TP

Karena RT + TP = RP, maka:
= PS + RP

Dalam notasi vektor, jika kita memiliki vektor $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$, maka $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Dengan demikian, PS + RP tidak bisa disederhanakan lebih lanjut tanpa informasi tambahan mengenai posisi titik-titik tersebut.

Namun, jika kita melihat urutan titiknya, kita bisa mengasosiasikan dengan pergerakan:
PQ + QR = PR
RS + ST = RT
Jadi, PR + RT + TP = PT + TP = 0 (karena TP = -PT)

b. MN + PQ + NT + TP
Kita atur ulang urutan vektor:
(MN + NT) + (PQ + TP)
= MT + PT

Sama seperti sebelumnya, MT + PT tidak bisa disederhanakan lebih lanjut tanpa informasi posisi.

Jika kita melihat urutan titiknya:
MN + NT = MT
PQ + TP = TQ
Jadi, MT + TQ = MQ

Kesimpulan:
Untuk penyederhanaan yang tepat, kita perlu memahami bagaimana titik-titik tersebut saling berhubungan dalam ruang. Jika kita mengasumsikan bahwa pengeleompokan vektor yang menghasilkan vektor nol atau vektor gabungan adalah kunci:

a. PQ + RS + TP + QR + ST = (PQ + QR) + (RS + ST) + TP = PR + RT + TP = PT + TP = 0
b. MN + PQ + NT + TP = (MN + NT) + (PQ + TP) = MT + PT

Jika PQ = -QP dan TP = -PT, maka:
PQ + TP = PQ - PT. Ini tidak menyederhanakan ke satu vektor tunggal.

Mari kita coba pendekatan lain dengan mengasumsikan vektor dapat ditulis sebagai selisih koordinat:
Misalkan P = $\vec{p}$, Q = $\vec{q}$, R = $\vec{r}$, S = $\vec{s}$, T = $\vec{t}$, U = $\vec{u}$, V = $\vec{v}$, W = $\vec{w}$, M = $\vec{m}$, N = $\vec{n}$.

a. $\vec{PQ} + \vec{RS} + \vec{TP} + \vec{QR} + \vec{ST}$
$= (\vec{q} - \vec{p}) + (\vec{s} - \vec{r}) + (\vec{p} - \vec{t}) + (\vec{r} - \vec{q}) + (\vec{t} - \vec{s})$
Kita kelompokkan berdasarkan titik:
$= (\vec{q} - \vec{q}) + (\vec{s} - \vec{s}) + (\vec{p} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{r}) + (\vec{t} - \vec{t})$
$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

b. $\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{NT} + \vec{TP}$
$= (\vec{n} - \vec{m}) + (\vec{q} - \vec{p}) + (\vec{t} - \vec{n}) + (\vec{p} - \vec{t})$
Kita kelompokkan berdasarkan titik:
$= (\vec{n} - \vec{n}) + (\vec{t} - \vec{t}) + (\vec{p} - \vec{p}) + (\vec{q}) + (-\vec{m})$
$= 0 + 0 + 0 + \vec{q} - \vec{m}$
$= \vec{q} - \vec{m} = \vec{MQ}$

Jadi, penyederhanaannya adalah:
a. 0
b. MQ