Tentukan proyeksi vektor a=(3 2 1)^t ke vektor i.

$(3, 0, 0)^t$ atau $3\vec{i}$

Pembahasan

Untuk menentukan proyeksi vektor $\vec{a} = (3, 2, 1)^t$ ke vektor $\vec{i}$, kita perlu memahami apa itu vektor $\vec{i}$ dan bagaimana proyeksi vektor bekerja.

Vektor $\vec{i}$ adalah vektor satuan dalam arah sumbu x positif. Dalam bentuk komponennya di ruang tiga dimensi, vektor $\vec{i}$ ditulis sebagai $(1, 0, 0)^t$. Jadi, $\vec{i} = (1, 0, 0)^t$.

Vektor $\vec{a} = (3, 2, 1)^t$ dapat ditulis sebagai $\vec{a} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + 1\vec{k}$, di mana $\vec{j}$ adalah vektor satuan arah sumbu y dan $\vec{k}$ adalah vektor satuan arah sumbu z.

Proyeksi vektor $\vec{a}$ ke vektor $\vec{b}$ (dalam hal ini $\vec{b} = \vec{i}$) didefinisikan sebagai:

$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|} \right) \frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}$

Di mana:
*   $\vec{a} \cdot \vec{b}$ adalah hasil perkalian titik (dot product) antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$.
*   $\|\vec{b}\|$ adalah panjang (magnitudo) dari vektor $\vec{b}$.

Mari kita hitung komponen-komponen yang diperlukan:

1.  **Perkalian Titik ($\vec{a} \cdot \vec{i}$):**
    $\vec{a} = (3, 2, 1)^t$
    $\vec{i} = (1, 0, 0)^t$
    $\vec{a} \cdot \vec{i} = (3 \times 1) + (2 	imes 0) + (1 	imes 0)$
    $= 3 + 0 + 0$
    $= 3$

2.  **Panjang Vektor $\vec{i}$ ($\|\vec{i}\|$):**
    Vektor $\vec{i}$ adalah vektor satuan, yang berarti panjangnya selalu 1.
    $\vec{i} = (1, 0, 0)^t$
    $\|\vec{i}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}$
    $= \sqrt{1 + 0 + 0}$
    $= \sqrt{1}$
    $= 1$

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus proyeksi:

$\text{proj}_{\vec{i}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{i}}{\|\vec{i}\|} \right) \frac{\vec{i}}{\|\vec{i}\|}$
$\text{proj}_{\vec{i}} \vec{a} = \left( \frac{3}{1} \right) \frac{(1, 0, 0)^t}{1}$
$\text{proj}_{\vec{i}} \vec{a} = (3) \times (1, 0, 0)^t$
$\text{proj}_{\vec{i}} \vec{a} = (3 \times 1, 3 	imes 0, 3 	imes 0)^t$
$\text{proj}_{\vec{i}} \vec{a} = (3, 0, 0)^t$

Dalam notasi vektor satuan, proyeksi vektor $\vec{a}$ ke vektor $\vec{i}$ adalah $3\vec{i}$.

Perlu dicatat bahwa proyeksi vektor $\vec{a}$ ke sumbu tertentu (dalam hal ini sumbu x yang direpresentasikan oleh $\vec{i}$) adalah komponen dari $\vec{a}$ pada sumbu tersebut. Komponen vektor $\vec{a}=(3, 2, 1)^t$ pada arah sumbu x (yaitu, arah $\vec{i}$) adalah 3. Proyeksi vektor adalah vektor yang memiliki besaran komponen tersebut dan arah vektor satuan ke mana proyeksi dilakukan. Karena kita memproyeksikan ke $\vec{i}$, arahnya adalah arah $\vec{i}$.

Jadi, hasil proyeksi vektor $\vec{a}=(3, 2, 1)^t$ ke vektor $\vec{i}=(1, 0, 0)^t$ adalah vektor $(3, 0, 0)^t$ atau $3\vec{i}$.