5 . (2 n+1)!/(n+2)!=3(2n-1)!/(n-1)!, maka nilai n adalah

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan 5 . (2n+1)!/(n+2)! = 3(2n-1)!/(n-1)!, kita perlu menggunakan definisi faktorial dan menyederhanakan persamaan tersebut.

Kita tahu bahwa n! = n * (n-1)!.

Mari kita uraikan faktorial dalam persamaan:
(2n+1)! = (2n+1) * (2n)! = (2n+1) * (2n) * (2n-1)!
(n+2)! = (n+2) * (n+1) * n * (n-1)!

Substitusikan uraian ini ke dalam persamaan awal:
5 * [(2n+1) * (2n) * (2n-1)!] / [(n+2) * (n+1) * n * (n-1)!] = 3 * (2n-1)! / (n-1)!

Kita bisa membatalkan (2n-1)! dan (n-1)! dari kedua sisi, dengan asumsi (2n-1)! dan (n-1)! tidak nol (yang berlaku untuk n ≥ 1).

5 * (2n+1) * (2n) / [(n+2) * (n+1) * n] = 3

Sekarang, kita bisa membatalkan 'n' dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi n ≠ 0):

5 * (2n+1) * 2 / [(n+2) * (n+1)] = 3

10 * (2n+1) / [(n+2) * (n+1)] = 3

Sekarang, kita kalikan kedua sisi dengan penyebutnya:

10 * (2n+1) = 3 * (n+2) * (n+1)

Distribusikan:

20n + 10 = 3 * (n^2 + n + 2n + 2)
20n + 10 = 3 * (n^2 + 3n + 2)
20n + 10 = 3n^2 + 9n + 6

Sekarang, kita susun ulang menjadi persamaan kuadrat dengan memindahkan semua suku ke satu sisi:

0 = 3n^2 + 9n + 6 - 20n - 10
0 = 3n^2 - 11n - 4

Kita bisa menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus ABC atau faktorisasi. Mari kita coba faktorisasi.
Kita cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan 3 * (-4) = -12, dan jika dijumlahkan menghasilkan -11. Angka-angka tersebut adalah -12 dan 1.

3n^2 - 12n + n - 4 = 0
3n(n - 4) + 1(n - 4) = 0
(3n + 1)(n - 4) = 0

Dari sini, kita dapatkan dua kemungkinan nilai n:

3n + 1 = 0  => 3n = -1  => n = -1/3
 n - 4 = 0  => n = 4

Karena faktorial hanya terdefinisi untuk bilangan bulat non-negatif, kita harus memeriksa apakah nilai n yang kita dapatkan valid dalam konteks soal. Untuk (n-1)! terdefinisi, n-1 ≥ 0, jadi n ≥ 1. Untuk (n+2)! terdefinisi, n+2 ≥ 0, jadi n ≥ -2. Untuk (2n-1)! terdefinisi, 2n-1 ≥ 0, jadi n ≥ 1/2. Untuk (2n+1)! terdefinisi, 2n+1 ≥ 0, jadi n ≥ -1/2.

Nilai n = -1/3 tidak memenuhi syarat n ≥ 1.
Nilai n = 4 memenuhi semua syarat (4 ≥ 1).

Jadi, satu-satunya solusi yang valid adalah n = 4.

Jawaban Ringkas: 4