A, B, C , dan D adalah titik-titik (-1,3,4) ,

Perbandingan AP:AQ adalah 1:3.

Pembahasan

Diketahui titik A = (-1, 3, 4), B = (2, 9, -2), C = (-2, 4, 3), dan D = (9, 9, -4).
P dan Q membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandingan 2:1.

Kita perlu mencari perbandingan AP:AQ.

Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan AP:PB = 2:1.
Rumus titik P yang membagi ruas garis AB di dalam dengan perbandingan m:n adalah:
P = ((n*A + m*B) / (m+n))

Dalam kasus ini, m=2, n=1.
A = (-1, 3, 4), B = (2, 9, -2)

P = ((1*(-1, 3, 4) + 2*(2, 9, -2)) / (2+1))
P = ((-1, 3, 4) + (4, 18, -4)) / 3
P = ((-1+4), (3+18), (4-4)) / 3
P = (3, 21, 0) / 3
P = (1, 7, 0)

Sekarang kita perlu mencari vektor AP. Vektor AP adalah P - A.
AP = (1 - (-1), 7 - 3, 0 - 4)
AP = (2, 4, -4)

Titik Q membagi AB di luar dengan perbandingan AQ:QB = 2:1.
Rumus titik Q yang membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan m:n adalah:
Q = ((m*B - n*A) / (m-n))

Dalam kasus ini, m=2, n=1.
A = (-1, 3, 4), B = (2, 9, -2)

Q = ((2*(2, 9, -2) - 1*(-1, 3, 4)) / (2-1))
Q = ((4, 18, -4) - (-1, 3, 4)) / 1
Q = (4 - (-1), 18 - 3, -4 - 4)
Q = (5, 15, -8)

Sekarang kita perlu mencari vektor AQ. Vektor AQ adalah Q - A.
AQ = (5 - (-1), 15 - 3, -8 - 4)
AQ = (6, 12, -12)

Kita perlu mencari perbandingan AP:AQ. Ini berarti kita membandingkan panjang vektor AP dan AQ, atau kita bisa melihat rasio komponennya jika mereka segaris.
Karena P dan Q membagi ruas garis AB, vektor AP dan AQ akan segaris (kolinear) dengan vektor AB.

Panjang vektor AP = ||AP|| = sqrt(2^2 + 4^2 + (-4)^2) = sqrt(4 + 16 + 16) = sqrt(36) = 6.
Panjang vektor AQ = ||AQ|| = sqrt(6^2 + 12^2 + (-12)^2) = sqrt(36 + 144 + 144) = sqrt(324) = 18.

Perbandingan AP:AQ = ||AP|| : ||AQ|| = 6 : 18 = 1 : 3.

Cara lain untuk melihat perbandingan ini adalah dengan melihat vektornya:
AP = (2, 4, -4)
AQ = (6, 12, -12)

Perhatikan bahwa AQ = 3 * AP.
Ini berarti vektor AQ adalah 3 kali vektor AP, dan karena keduanya berawal dari A, maka titik Q berjarak 3 kali lebih jauh dari A dibandingkan titik P, searah dengan arah yang sama.

Jadi, perbandingan AP:AQ = 1:3.