Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti pada gambar berikut.A B C

45 derajat

Pembahasan

Dalam kubus ABCD.EFGH, BE adalah diagonal sisi pada bidang ABFE, dan CG adalah rusuk kubus yang tegak lurus dengan bidang ABFE. Untuk menentukan sudut antara BE dan CG, kita perlu mencari vektor arah dari kedua garis tersebut atau menggunakan proyeksi. CG sejajar dengan BF dan AE. Jika kita memproyeksikan BE ke bidang BCGF, maka proyeksinya adalah BG. Sudut antara BE dan CG sama dengan sudut antara BE dan BF (karena CG sejajar BF). BE adalah diagonal sisi, dan BF adalah rusuk. Segitiga BEF adalah segitiga siku-siku di F. Jika panjang rusuk kubus adalah 'a', maka BF = a dan EF = a. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga BEF, BE^2 = BF^2 + EF^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. Jadi, BE = a*sqrt(2). Perhatikan segitiga ABF. Sudut antara BE dan BF adalah sudut yang dibentuk oleh diagonal sisi dan rusuk yang berdekatan. Karena CG sejajar dengan BF, maka sudut antara BE dan CG sama dengan sudut antara BE dan BF. Dalam segitiga siku-siku ABF (siku-siku di A), BF = a, AB = a. BE adalah diagonal sisi pada bidang ABFE. Untuk mencari sudut antara BE dan CG, kita bisa melihat hubungan antara BE dan rusuk-rusuk kubus. CG tegak lurus dengan bidang ABCD dan bidang EFGH. BE adalah diagonal sisi bidang ABFE. Karena CG sejajar dengan BF, maka sudut antara BE dan CG sama dengan sudut antara BE dan BF. Segitiga ABF siku-siku di A. BF=a, AB=a. BE adalah diagonal bidang ABFE. Misalkan kita ambil titik B sebagai titik acuan. Vektor BE = BF + FE. Vektor CG = CB + BF + FG. Ini tidak membantu. Mari kita gunakan konsep proyeksi. Proyeksikan BE pada bidang BCGF. Proyeksi BE pada bidang BCGF adalah BG. Sudut antara BE dan CG sama dengan sudut antara BE dan BF (karena CG sejajar BF). Dalam segitiga siku-siku ABF, BF = a, AB = a. BE adalah diagonal bidang ABFE. Perhatikan segitiga siku-siku BCF (siku-siku di C). BC = a, CF = a. BF = a*sqrt(2). Ini adalah diagonal sisi. Perhatikan segitiga siku-siku BEF (siku-siku di F). EF = a, BF = a. BE = a*sqrt(2). Ini juga diagonal sisi. Sudut antara BE dan CG: CG sejajar BF. Jadi kita mencari sudut antara BE dan BF. Segitiga BEF adalah siku-siku di F. BF = a, EF = a. BE = a*sqrt(2). Kita perlu sudut antara BE dan BF. Segitiga ABF, siku-siku di A, AB = a, BF = a. Ini salah. BF adalah rusuk, bukan diagonal. Rusuknya adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, BF, CG, DH, AE. BE adalah diagonal sisi pada bidang ABFE. CG adalah rusuk. CG sejajar BF. Jadi, sudut antara BE dan CG adalah sudut antara BE dan BF. Dalam segitiga siku-siku ABF, siku-siku di A, AB=a, AF=a (rusuk tegak). BE adalah diagonal sisi ABFE. Sudut antara BE dan BF: Perhatikan segitiga siku-siku ABF, siku-siku di B. BF = a, AB = a. Ini salah. Gambar kubus ABCD.EFGH. BE adalah diagonal pada bidang ABFE. CG adalah rusuk vertikal. CG sejajar dengan BF. Jadi, sudut antara BE dan CG sama dengan sudut antara BE dan BF. Perhatikan segitiga siku-siku CBF, siku-siku di B. CB = a, BF = a. Ini salah. Mari kita perbaiki penamaan kubus. Kubus ABCD di alas, EFGH di atas, dengan A di bawah E, B di bawah F, C di bawah G, D di bawah H. Maka BE adalah diagonal sisi pada bidang ABFE. CG adalah rusuk tegak. CG sejajar dengan BF. Sudut antara BE dan CG adalah sudut antara BE dan BF. Perhatikan segitiga siku-siku ABF. Siku-siku di B. AB = a, BF = a. BE adalah diagonal sisi ABFE. BE^2 = AB^2 + AE^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. BE = a*sqrt(2). Sekarang, mari kita cari sudut antara BE dan BF. Dalam segitiga siku-siku ABF, siku-siku di B, AB=a, BF=a. Maka BE adalah diagonal sisi. Sudut antara BE dan BF. cos(sudut) = (sisi samping) / (sisi miring). Kita perlu sudut antara dua garis. Mari kita gunakan vektor. Misalkan B=(0,0,0), A=(a,0,0), F=(0,a,0), E=(a,a,0). Maka BE = E - B = (a,a,0). CG adalah rusuk. C = (0,0,a), G = (0,a,a). Vektor CG = G - C = (0,a,0). Ini salah. Mari kita gunakan konvensi standar: ABCD alas, EFGH atas. A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0). E=(0,0,a), F=(a,0,a), G=(a,a,a), H=(0,a,a). Maka BE = E - B = (0,0,a) - (a,0,0) = (-a, 0, a). CG = G - C = (a,a,a) - (a,a,0) = (0, 0, a). Vektor BE = (-a, 0, a). Vektor CG = (0, 0, a). cos(theta) = (BE . CG) / (|BE| |CG|). BE . CG = (-a)(0) + (0)(0) + (a)(a) = a^2. |BE| = sqrt((-a)^2 + 0^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2). |CG| = sqrt(0^2 + 0^2 + a^2) = a. cos(theta) = a^2 / (a*sqrt(2) * a) = a^2 / (a^2*sqrt(2)) = 1/sqrt(2). Maka theta = arccos(1/sqrt(2)) = 45 derajat. Jadi, besar sudut antara BE dan CG adalah 45 derajat.