A, B, C , dan D berturut-turut adalah titik

a. AB = (2, 3, 6), CD = (1, 2, 5). b. x = 3, y = -4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan dua langkah:

a. Mencari komponen vektor AB dan CD.
   Vektor AB dihitung dengan mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik B: AB = B - A.
   Vektor CD dihitung dengan mengurangkan koordinat titik C dari koordinat titik D: CD = D - C.

b. Mencari nilai x dan y jika vektor u tegak lurus pada vektor AB dan CD.
   Jika dua vektor tegak lurus, hasil kali titik (dot product) mereka adalah nol.
   Kita akan menggunakan sifat ini untuk membentuk persamaan dan menyelesaikan nilai x dan y.

**Langkah a: Mencari komponen vektor AB dan CD**

Titik A = (-1, 3, 1)
Titik B = (1, 6, 7)
Titik C = (0, 2, 5)
Titik D = (1, 4, 10)

Komponen vektor AB = B - A = (1 - (-1), 6 - 3, 7 - 1) = (1 + 1, 3, 6) = (2, 3, 6).
Jadi, vektor AB = (2, 3, 6).

Komponen vektor CD = D - C = (1 - 0, 4 - 2, 10 - 5) = (1, 2, 5).
Jadi, vektor CD = (1, 2, 5).

**Langkah b: Mencari nilai x dan y**

Vektor u = (x, y, 1).

Kondisi 1: Vektor u tegak lurus pada vektor AB.
Artinya, hasil kali titik u · AB = 0.
(x, y, 1) · (2, 3, 6) = 0
(x * 2) + (y * 3) + (1 * 6) = 0
2x + 3y + 6 = 0   (Persamaan 1)

Kondisi 2: Vektor u tegak lurus pada vektor CD.
Artinya, hasil kali titik u · CD = 0.
(x, y, 1) · (1, 2, 5) = 0
(x * 1) + (y * 2) + (1 * 5) = 0
x + 2y + 5 = 0    (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) 2x + 3y + 6 = 0
2) x + 2y + 5 = 0

Kita bisa menyelesaikan sistem ini menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari gunakan metode substitusi.
Dari Persamaan 2, kita bisa nyatakan x dalam bentuk y:
x = -2y - 5

Substitusikan nilai x ini ke dalam Persamaan 1:
2(-2y - 5) + 3y + 6 = 0
-4y - 10 + 3y + 6 = 0
-y - 4 = 0
-y = 4
y = -4

Sekarang substitusikan nilai y = -4 kembali ke persamaan untuk x:
x = -2(-4) - 5
x = 8 - 5
x = 3

Jadi, komponen vektor u adalah (3, -4, 1).

**Jawaban:**
a. Komponen vektor AB adalah (2, 3, 6) dan komponen vektor CD adalah (1, 2, 5).
b. Nilai x adalah 3 dan nilai y adalah -4.