a. Diketahui Sn = 1+2+3+4+...+n. Buktikan bahwa Sn + S(n-1)

a. Terbukti Sn + S(n-1) = n^2. b. Tiga suku pertama adalah 5, 9, 13. c. (i) Beda = 6, (ii) Suku kedelapan = 52.

Pembahasan

Berikut adalah jawaban untuk setiap bagian:

a. Buktikan bahwa Sn + S(n-1) = n^2, di mana Sn = 1+2+3+4+...+n.
Sn adalah jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika dengan suku pertama 1 dan beda 1. Rumus Sn = n/2 * (a + Un) atau Sn = n/2 * (2a + (n-1)b).
Sn = n/2 * (1 + n) = (n^2 + n) / 2.
S(n-1) adalah jumlah (n-1) suku pertama.
S(n-1) = (n-1)/2 * (1 + (n-1)) = (n-1)/2 * n = (n^2 - n) / 2.

Sekarang, mari kita jumlahkan Sn + S(n-1):
Sn + S(n-1) = [(n^2 + n) / 2] + [(n^2 - n) / 2]
Sn + S(n-1) = (n^2 + n + n^2 - n) / 2
Sn + S(n-1) = (2n^2) / 2
Sn + S(n-1) = n^2

Terbukti bahwa Sn + S(n-1) = n^2.

b. Diketahui jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 2n^2 + 3n. Tentukan tiga suku pertama deret itu.
Untuk mencari suku pertama (U1), kita hitung S1:
S1 = 2(1)^2 + 3(1) = 2 + 3 = 5.
Jadi, U1 = 5.

Untuk mencari jumlah dua suku pertama (S2), kita hitung:
S2 = 2(2)^2 + 3(2) = 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14.
S2 = U1 + U2, maka U2 = S2 - U1.
U2 = 14 - 5 = 9.

Untuk mencari jumlah tiga suku pertama (S3), kita hitung:
S3 = 2(3)^2 + 3(3) = 2(9) + 9 = 18 + 9 = 27.
S3 = U1 + U2 + U3, maka U3 = S3 - S2.
U3 = 27 - 14 = 13.

Tiga suku pertama deret tersebut adalah 5, 9, dan 13.

c. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 7n + 3n^2. Tentukan:
(i) beda tiap suku,
(ii) suku kedelapan.

(i) Beda tiap suku (b):
U1 = S1 = 7(1) + 3(1)^2 = 7 + 3 = 10.
S2 = 7(2) + 3(2)^2 = 14 + 3(4) = 14 + 12 = 26.
U2 = S2 - S1 = 26 - 10 = 16.
Beda (b) = U2 - U1 = 16 - 10 = 6.

(ii) Suku kedelapan (U8):
Rumus suku ke-n aritmetika adalah Un = a + (n-1)b. Dalam kasus ini, a = U1 = 10 dan b = 6.
U8 = 10 + (8-1) * 6
U8 = 10 + 7 * 6
U8 = 10 + 42
U8 = 52.

Jadi, beda tiap suku adalah 6 dan suku kedelapan adalah 52.