a. Jika a = (1 + x)/(2 - x), sederhanakanlah : 1/(a + 1) +

a. $\frac{-x^2 + x + 2}{2x - 1}$ b. 1

Pembahasan

Berikut adalah penyelesaian untuk setiap bagian:

a. Menyederhanakan ekspresi:
   Diberikan $a = \frac{1 + x}{2 - x}$.
   Kita perlu menyederhanakan: $\frac{1}{a + 1} + \frac{2a + 1}{a^2 - 1}$
   Pertama, substitusikan $a$ ke dalam ekspresi.
   $a + 1 = \frac{1 + x}{2 - x} + 1 = \frac{1 + x + (2 - x)}{2 - x} = \frac{3}{2 - x}$
   $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
   $a - 1 = \frac{1 + x}{2 - x} - 1 = \frac{1 + x - (2 - x)}{2 - x} = \frac{1 + x - 2 + x}{2 - x} = \frac{2x - 1}{2 - x}$
   $a^2 - 1 = \left(\frac{2x - 1}{2 - x}\right) \left(\frac{3}{2 - x}\right) = \frac{3(2x - 1)}{(2 - x)^2}$

   Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi awal:
   $\frac{1}{a + 1} = \frac{1}{\frac{3}{2 - x}} = \frac{2 - x}{3}$
   $\frac{2a + 1}{a^2 - 1} = \frac{2\left(\frac{1 + x}{2 - x}\right) + 1}{\frac{3(2x - 1)}{(2 - x)^2}} = \frac{\frac{2(1 + x) + (2 - x)}{2 - x}}{\frac{3(2x - 1)}{(2 - x)^2}} = \frac{\frac{2 + 2x + 2 - x}{2 - x}}{\frac{3(2x - 1)}{(2 - x)^2}} = \frac{\frac{x + 4}{2 - x}}{\frac{3(2x - 1)}{(2 - x)^2}}$
   $= \frac{x + 4}{2 - x} \times \frac{(2 - x)^2}{3(2x - 1)} = \frac{(x + 4)(2 - x)}{3(2x - 1)}$

   Jumlahkan kedua bagian:
   $\frac{2 - x}{3} + \frac{(x + 4)(2 - x)}{3(2x - 1)} = \frac{(2 - x)(2x - 1)}{3(2x - 1)} + \frac{(x + 4)(2 - x)}{3(2x - 1)}$
   $= \frac{(2 - x)(2x - 1) + (x + 4)(2 - x)}{3(2x - 1)} = \frac{(2 - x)[(2x - 1) + (x + 4)]}{3(2x - 1)}$
   $= \frac{(2 - x)(3x + 3)}{3(2x - 1)} = \frac{(2 - x)3(x + 1)}{3(2x - 1)} = \frac{(2 - x)(x + 1)}{2x - 1}$
   $= \frac{2x + 2 - x^2 - x}{2x - 1} = \frac{-x^2 + x + 2}{2x - 1}$

b. Menentukan $(x^2 + y^2)$:
   Diberikan $x = \frac{2T}{1 + T^2}$ dan $y = \frac{1 - T^2}{1 + T^2}$.
   Kita perlu menentukan $(x^2 + y^2)$.
   $x^2 = \left(\frac{2T}{1 + T^2}\right)^2 = \frac{4T^2}{(1 + T^2)^2}$
   $y^2 = \left(\frac{1 - T^2}{1 + T^2}\right)^2 = \frac{(1 - T^2)^2}{(1 + T^2)^2} = \frac{1 - 2T^2 + T^4}{(1 + T^2)^2}$

   $x^2 + y^2 = \frac{4T^2}{(1 + T^2)^2} + \frac{1 - 2T^2 + T^4}{(1 + T^2)^2}$
   $x^2 + y^2 = \frac{4T^2 + 1 - 2T^2 + T^4}{(1 + T^2)^2}$
   $x^2 + y^2 = \frac{T^4 + 2T^2 + 1}{(1 + T^2)^2}$
   Perhatikan bahwa pembilang adalah bentuk kuadrat sempurna: $(T^2 + 1)^2 = T^4 + 2T^2 + 1$.
   $x^2 + y^2 = \frac{(T^2 + 1)^2}{(1 + T^2)^2} = 1$

Jadi, jawaban untuk a adalah $\frac{-x^2 + x + 2}{2x - 1}$ dan untuk b adalah 1.