Tentukan bayangan dari lingkaran x^2+y^2-6x+8y+9=0 oleh

a. (x+4)^2 + (y-3)^2 = 16, b. (x-4)^2 + (y+3)^2 = 16, c. (x-3)^2 + (y-4)^2 = 16

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan dari lingkaran x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0 oleh pencerminan, pertama-tama kita perlu mengubah persamaan lingkaran ke bentuk standar (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.

Langkah 1: Ubah persamaan lingkaran ke bentuk standar.
x^2 - 6x + y^2 + 8y = -9
Lengkapi kuadrat untuk x: (x^2 - 6x + 9) - 9
Lengkapi kuadrat untuk y: (y^2 + 8y + 16) - 16
(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = -9
(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = -9 + 9 + 16
(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16

Jadi, pusat lingkaran adalah (3, -4) dan jari-jarinya adalah √16 = 4.

a. Pencerminan terhadap y=x:
Jika sebuah titik (x, y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya adalah (y, x).
Jadi, pusat lingkaran yang baru adalah (-4, 3).
Persamaan bayangan lingkaran: (x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 4^2
(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16
x^2 + 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 16
x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0

b. Pencerminan terhadap y=-x:
Jika sebuah titik (x, y) dicerminkan terhadap garis y=-x, bayangannya adalah (-y, -x).
Jadi, pusat lingkaran yang baru adalah (-(-4), -3) = (4, -3).
Persamaan bayangan lingkaran: (x - 4)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2
(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 16
x^2 - 8x + 16 + y^2 + 6y + 9 = 16
x^2 + y^2 - 8x + 6y + 9 = 0

c. Pencerminan terhadap sumbu X:
Jika sebuah titik (x, y) dicerminkan terhadap sumbu X, bayangannya adalah (x, -y).
Jadi, pusat lingkaran yang baru adalah (3, -(-4)) = (3, 4).
Persamaan bayangan lingkaran: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 16
x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0