Luas daerah yang memenuhi sistem persamaan x

Luas daerah tersebut adalah 21/2 atau 10.5 satuan luas.

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang memenuhi sistem persamaan linear:
1.  x + y <= 5
2.  y <= 3
3.  x >= 0
4.  y >= 0

Kita perlu menggambar daerah yang dibatasi oleh garis-garis persamaan tersebut pada sistem koordinat Kartesius.

*   Garis x + y = 5:
    Jika x = 0, maka y = 5. Titik (0, 5)
    Jika y = 0, maka x = 5. Titik (5, 0)
    Daerah x + y <= 5 adalah daerah di bawah atau pada garis ini.

*   Garis y = 3:
    Ini adalah garis horizontal yang memotong sumbu y di titik 3.
    Daerah y <= 3 adalah daerah di bawah atau pada garis ini.

*   Garis x = 0:
    Ini adalah sumbu y.
    Daerah x >= 0 adalah daerah di sebelah kanan atau pada sumbu y.

*   Garis y = 0:
    Ini adalah sumbu x.
    Daerah y >= 0 adalah daerah di atas atau pada sumbu x.

Sekarang kita cari titik-titik potong yang relevan:
1.  Titik potong antara y = 3 dan x + y = 5:
    Substitusikan y = 3 ke dalam x + y = 5 -> x + 3 = 5 -> x = 2. Titik potongnya adalah (2, 3).
2.  Titik potong antara y = 0 (sumbu x) dan x + y = 5:
    Substitusikan y = 0 ke dalam x + y = 5 -> x + 0 = 5 -> x = 5. Titik potongnya adalah (5, 0).
3.  Titik potong antara x = 0 (sumbu y) dan x + y = 5:
    Substitusikan x = 0 ke dalam x + y = 5 -> 0 + y = 5 -> y = 5. Titik potongnya adalah (0, 5).
4.  Titik potong antara x = 0 (sumbu y) dan y = 3:
    Titik potongnya adalah (0, 3).
5.  Titik potong antara y = 0 (sumbu x) dan x = 0:
    Titik potongnya adalah (0, 0).

Daerah yang memenuhi semua kondisi adalah poligon yang dibatasi oleh titik-titik (0, 0), (5, 0), (2, 3), dan (0, 3).

Untuk menghitung luas daerah ini, kita dapat membaginya menjadi dua bagian:
*   Sebuah persegi panjang dengan titik (0, 0), (2, 0), (2, 3), (0, 3).
    Luas persegi panjang = panjang * lebar = 2 * 3 = 6.
*   Sebuah segitiga dengan titik (2, 0), (5, 0), (2, 3).
    Alas segitiga = 5 - 2 = 3.
    Tinggi segitiga = 3.
    Luas segitiga = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * 3 * 3 = 9/2 = 4.5.

Namun, cara yang lebih mudah adalah mengenali bahwa daerah tersebut adalah sebuah trapesium dengan sisi sejajar pada sumbu y.
Titik-titik sudut daerah yang memenuhi adalah (0,0), (5,0), (2,3), (0,3).
Ini adalah bentuk trapesium yang alasnya berada di sumbu x.

Alternatif lain, kita bisa melihatnya sebagai daerah di bawah garis y=3 dan di bawah garis x+y=5, di kuadran pertama.
Jika kita integralkan:
Integral dari 0 sampai 2 dari 3 dx + Integral dari 2 sampai 5 dari (5-x) dx

Integral 1: [3x] dari 0 sampai 2 = 3*2 - 3*0 = 6
Integral 2: [5x - x^2/2] dari 2 sampai 5
= (5*5 - 5^2/2) - (5*2 - 2^2/2)
= (25 - 25/2) - (10 - 4/2)
= (50/2 - 25/2) - (10 - 2)
= 25/2 - 8
= 25/2 - 16/2
= 9/2 = 4.5

Total Luas = 6 + 4.5 = 10.5

Dalam bentuk pecahan, 10.5 = 21/2.

Mari kita periksa kembali pembagian menjadi persegi panjang dan segitiga:
*   Persegi panjang dengan titik (0,0), (2,0), (2,3), (0,3). Luas = 2 * 3 = 6.
*   Segitiga dengan titik (2,0), (5,0), (2,3). Sumbu x dari 2 sampai 5, tinggi pada x=2 adalah 3. Ini adalah segitiga siku-siku. Alas = 5-2=3, tinggi = 3. Luas = 1/2 * 3 * 3 = 4.5.
Total luas = 6 + 4.5 = 10.5.

Jika kita pertimbangkan sebagai trapesium yang alasnya vertikal:
Sisi sejajar pada sumbu y:
Di x=0, y dari 0 sampai 3 (panjang 3)
Di x=2, y dari 0 sampai 3 (panjang 3)
Di x=5, y=0 (panjang 0)

Jika kita gambar grafiknya:
Sumbu x dan y.
Garis y=3 adalah horizontal.
Garis x+y=5 memotong sumbu y di (0,5) dan sumbu x di (5,0).
Garis x=0 adalah sumbu y.
Garis y=0 adalah sumbu x.

Daerah yang dibatasi adalah poligon dengan titik-titik:
(0,0) - origin
(5,0) - perpotongan x+y=5 dengan sumbu x
(2,3) - perpotongan x+y=5 dengan y=3
(0,3) - perpotongan y=3 dengan sumbu y.

Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar yang tegak lurus sumbu x.
Sisi sejajar adalah segmen garis dari (0,0) ke (0,3) dan dari (2,3) ke (5,0)? Bukan.

Ini adalah trapesium dengan alas di sumbu x:
Titik (0,0), (5,0), (2,3), (0,3).
Kita bisa melihatnya sebagai persegi panjang (0,0) ke (2,0) ke (2,3) ke (0,3) dengan luas 2*3=6.
Ditambah segitiga (2,0) ke (5,0) ke (2,3) dengan alas 3 dan tinggi 3, luas 0.5*3*3 = 4.5.
Total luas = 6 + 4.5 = 10.5.

Atau, kita bisa melihatnya sebagai trapesium dengan sisi sejajar pada sumbu y.
Sisi sejajar adalah segmen dari (0,0) ke (0,3) dan segmen dari (2,3) ke (5,0).
Ini tidak benar.

Mari kita gunakan rumus luas trapesium:
Luas = 1/2 * (jumlah panjang sisi sejajar) * tinggi.

Jika kita melihat trapesium dengan alas horizontal:
Sisi sejajar adalah segmen dari (0,0) ke (2,3) dan dari (0,3) ke (5,0)? Bukan.

Mari kita gambar ulang daerahnya:
Titik-titik sudutnya adalah:
O = (0,0)
A = (5,0) (perpotongan x+y=5 dengan sumbu x)
B = (2,3) (perpotongan x+y=5 dengan y=3)
C = (0,3) (perpotongan y=3 dengan sumbu y)

Daerah OABC.
Ini adalah trapesium dengan sisi sejajar OC (pada sumbu y) dan segmen dari (5,0) ke (2,3).

Jika kita memproyeksikan ke sumbu x, daerah ini dibatasi oleh x=0, x=5.
Di antara x=0 dan x=2, batas atas adalah y=3.
Di antara x=2 dan x=5, batas atas adalah y=5-x.

Luas = ∫[dari 0 sampai 2] 3 dx + ∫[dari 2 sampai 5] (5-x) dx
Luas = [3x] | dari 0 sampai 2 + [5x - x²/2] | dari 2 sampai 5
Luas = (3*2 - 3*0) + [(5*5 - 5²/2) - (5*2 - 2²/2)]
Luas = 6 + [(25 - 25/2) - (10 - 4/2)]
Luas = 6 + [25/2 - (10 - 2)]
Luas = 6 + [25/2 - 8]
Luas = 6 + [25/2 - 16/2]
Luas = 6 + 9/2
Luas = 12/2 + 9/2
Luas = 21/2

Jadi, luas daerahnya adalah 21/2 atau 10.5 satuan luas.