Agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2x + p dan x^2

-√5 ≤ p ≤ √5

Pembahasan

Untuk mencari agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2x + p (garis lurus) dan x² + y² = 1 (lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 1), kita perlu mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran.

Persamaan garis: y = 2x + p
Persamaan lingkaran: x² + y² = 1

Substitusikan y dari persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran:
x² + (2x + p)² = 1

Jabarkan kuadratnya:
x² + (4x² + 4px + p²) = 1

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
5x² + 4px + p² = 1

Pindahkan 1 ke sisi kiri untuk membentuk persamaan kuadrat standar (ax² + bx + c = 0):
5x² + 4px + (p² - 1) = 0

Agar ada titik persekutuan antara garis dan lingkaran, persamaan kuadrat ini harus memiliki setidaknya satu solusi real untuk x. Ini berarti diskriminan (D) dari persamaan kuadrat harus lebih besar dari atau sama dengan nol (D ≥ 0).

Diskriminan dihitung dengan rumus D = b² - 4ac, di mana:
a = 5
b = 4p
c = p² - 1

Jadi, kita punya:
D = (4p)² - 4(5)(p² - 1)
D = 16p² - 20(p² - 1)
D = 16p² - 20p² + 20
D = -4p² + 20

Agar ada titik persekutuan, D ≥ 0:
-4p² + 20 ≥ 0
20 ≥ 4p²
5 ≥ p²

Ini berarti p² ≤ 5.

Untuk mencari nilai p, kita ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
√p² ≤ √5
|p| ≤ √5

Ini berarti nilai p berada di antara -√5 dan √5, yaitu:
-√5 ≤ p ≤ √5

Jadi, agar ada titik persekutuan antara grafik y = 2x + p dan x² + y² = 1, nilai p harus berada dalam rentang [-√5, √5].