Agar dapat berproduksi dengan optimal, sebatang pohon jeruk

Rp16.500.000,00

Pembahasan

Untuk menentukan biaya minimum agar pohon jeruk berproduksi optimal, kita perlu menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
x = jumlah bungkus pupuk A
y = jumlah bungkus pupuk B

Kebutuhan nutrisi:
Minimal 12 unit zat N per pohon.
Minimal 12 unit zat P per pohon.

Kandungan nutrisi per bungkus:
Pupuk A: 1 unit N, 3 unit P
Pupuk B: 3 unit N, 1 unit P

Harga per bungkus:
Pupuk A: Rp2.500,00
Pupuk B: Rp3.000,00

Jumlah pohon: 1.000

Total kebutuhan nutrisi untuk 1.000 pohon:
Zat N minimal = 1.000 * 12 = 12.000 unit
Zat P minimal = 1.000 * 12 = 12.000 unit

Model matematika:

Kendala nutrisi:
Untuk zat N: 1x + 3y >= 12000
Untuk zat P: 3x + 1y >= 12000

Kendala non-negatif:
x >= 0
y >= 0

Fungsi tujuan (meminimalkan biaya):
Biaya (C) = 2500x + 3000y

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala dan meminimalkan fungsi tujuan.

Untuk mencari titik potong antara dua garis kendala:
1) x + 3y = 12000
2) 3x + y = 12000

Kalikan persamaan (2) dengan 3:
9x + 3y = 36000

Kurangkan persamaan (1) dari persamaan hasil perkalian:
(9x + 3y) - (x + 3y) = 36000 - 12000
8x = 24000
x = 3000

Substitusikan nilai x = 3000 ke persamaan (1):
3000 + 3y = 12000
3y = 9000
y = 3000

Jadi, titik potongnya adalah (3000, 3000).

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan di titik-titik sudut daerah yang memenuhi kendala. Titik sudutnya adalah:
- Titik potong sumbu x dari kendala (y=0): 
  Dari x + 3y = 12000 => x = 12000. Titik (12000, 0).
  Dari 3x + y = 12000 => 3x = 12000 => x = 4000. Titik (4000, 0).
- Titik potong sumbu y dari kendala (x=0):
  Dari x + 3y = 12000 => 3y = 12000 => y = 4000. Titik (0, 4000).
  Dari 3x + y = 12000 => y = 12000. Titik (0, 12000).
- Titik potong antara kedua garis kendala: (3000, 3000).

Karena kita mencari minimum, kita akan fokus pada titik-titik di mana kendala terpenuhi.
Kita perlu memeriksa titik-titik sudut yang layak (feasible region). Garis x + 3y = 12000 dan 3x + y = 12000 akan membentuk daerah di kuadran pertama. Titik (0,0) tidak memenuhi kendala. Daerah yang memenuhi adalah di atas kedua garis.

Titik-titik sudut yang relevan adalah perpotongan dari:
1. Sumbu x (y=0) dengan 3x + y = 12000  =>  3x = 12000  => x = 4000. Titik (4000, 0).
   Periksa kendala 1: 4000 + 3(0) = 4000 < 12000. Titik ini tidak layak karena tidak memenuhi kebutuhan zat N.

2. Sumbu y (x=0) dengan x + 3y = 12000  =>  3y = 12000  => y = 4000. Titik (0, 4000).
   Periksa kendala 2: 3(0) + 4000 = 4000 < 12000. Titik ini tidak layak karena tidak memenuhi kebutuhan zat P.

3. Perpotongan kedua garis: (3000, 3000).
   Periksa kendala 1: 3000 + 3(3000) = 3000 + 9000 = 12000 (memenuhi)
   Periksa kendala 2: 3(3000) + 3000 = 9000 + 3000 = 12000 (memenuhi)
   Titik (3000, 3000) adalah titik sudut yang layak.

Perlu juga dipertimbangkan titik di mana kendala terpenuhi secara pas pada sumbu:
- Jika hanya menggunakan pupuk A (y=0): x = 12000 (untuk N) dan 3x = 12000 => x = 4000 (untuk P). Jadi, x minimal adalah 4000. Titik (4000, 0). Biaya = 2500 * 4000 = Rp10.000.000.
- Jika hanya menggunakan pupuk B (x=0): 3y = 12000 => y = 4000 (untuk N) dan y = 12000 (untuk P). Jadi, y minimal adalah 12000. Titik (0, 12000). Biaya = 3000 * 12000 = Rp36.000.000.

Sekarang evaluasi biaya di titik (3000, 3000):
C = 2500 * 3000 + 3000 * 3000
C = 7.500.000 + 9.000.000
C = 16.500.000

Bandingkan biaya di titik-titik sudut yang layak:
- Titik (4000, 0): Biaya = Rp10.000.000.
- Titik (0, 12000): Biaya = Rp36.000.000.
- Titik (3000, 3000): Biaya = Rp16.500.000.

Oops, mari kita periksa kembali titik-titik sudut layak.
Daerah layak dibatasi oleh x>=0, y>=0, x+3y>=12000, dan 3x+y>=12000.

Titik potong dengan sumbu x:
Jika y=0, maka x+0>=12000 (x>=12000) dan 3x+0>=12000 (x>=4000). Jadi, x>=12000. Titik (12000, 0).
Jika x=0, maka 0+3y>=12000 (y>=4000) dan 0+y>=12000 (y>=12000). Jadi, y>=12000. Titik (0, 12000).

Titik potong kedua garis x+3y=12000 dan 3x+y=12000 adalah (3000, 3000).

Titik sudut yang layak adalah:
1. Titik potong sumbu x dan garis 3x+y=12000: (4000, 0). Tapi ini tidak memenuhi x+3y>=12000 (4000+0 < 12000). Jadi bukan titik sudut layak.
2. Titik potong sumbu y dan garis x+3y=12000: (0, 4000). Tapi ini tidak memenuhi 3x+y>=12000 (0+4000 < 12000). Jadi bukan titik sudut layak.

Titik sudut yang harus diuji adalah titik di mana garis kendala berpotongan:
- Perpotongan x+3y=12000 dan sumbu x (y=0) adalah (12000, 0). Tapi ini tidak memenuhi 3x+y >= 12000. (3*12000 > 12000, ini memenuhi).
- Perpotongan 3x+y=12000 dan sumbu y (x=0) adalah (0, 12000). Tapi ini tidak memenuhi x+3y >= 12000. (0+3*12000 > 12000, ini memenuhi).

Titik-titik sudut daerah yang layak adalah:
1. Titik potong sumbu x dan garis 3x + y = 12000 (y=0) => x=4000. Titik (4000, 0). Cek kendala lain: 4000 + 3(0) = 4000 < 12000. Tidak layak.
2. Titik potong sumbu y dan garis x + 3y = 12000 (x=0) => y=4000. Titik (0, 4000). Cek kendala lain: 3(0) + 4000 = 4000 < 12000. Tidak layak.

Mari kita gambarkan daerahnya:
Garis 1: x + 3y = 12000 (memotong sumbu x di 12000, sumbu y di 4000)
Garis 2: 3x + y = 12000 (memotong sumbu x di 4000, sumbu y di 12000)

Daerah layak adalah area di atas kedua garis di kuadran pertama.
Titik sudut layak:
- Perpotongan garis x+3y=12000 dan sumbu x (y=0) adalah (12000, 0).
- Perpotongan garis 3x+y=12000 dan sumbu y (x=0) adalah (0, 12000).
- Perpotongan kedua garis adalah (3000, 3000).

Evaluasi biaya di titik-titik sudut:
- Titik (12000, 0): C = 2500 * 12000 + 3000 * 0 = 30.000.000
- Titik (0, 12000): C = 2500 * 0 + 3000 * 12000 = 36.000.000
- Titik (3000, 3000): C = 2500 * 3000 + 3000 * 3000 = 7.500.000 + 9.000.000 = 16.500.000

Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan adalah Rp16.500.000,00.

Ada kesalahan dalam interpretasi titik potong sumbu.
Mari kita ulang penentuan titik potong yang layak.
Kita butuh x >= 0, y >= 0, x + 3y >= 12000, 3x + y >= 12000.

Titik sudut daerah layak:
1. Perpotongan sumbu y dengan garis x+3y=12000:
   x=0 => 3y=12000 => y=4000. Titik (0, 4000).
   Periksa kendala kedua: 3(0) + 4000 = 4000. Ini TIDAK memenuhi 3x+y >= 12000.
   Jadi, titik (0, 4000) BUKAN titik sudut layak untuk daerah ini.

2. Perpotongan sumbu x dengan garis 3x+y=12000:
   y=0 => 3x=12000 => x=4000. Titik (4000, 0).
   Periksa kendala pertama: 4000 + 3(0) = 4000. Ini TIDAK memenuhi x+3y >= 12000.
   Jadi, titik (4000, 0) BUKAN titik sudut layak untuk daerah ini.

Titik sudut yang benar adalah:
1. Perpotongan garis x+3y=12000 dengan sumbu x (y=0) adalah (12000, 0). Cek kendala kedua: 3(12000) + 0 = 36000 >= 12000. LAYAK.
2. Perpotongan garis 3x+y=12000 dengan sumbu y (x=0) adalah (0, 12000). Cek kendala pertama: 0 + 3(12000) = 36000 >= 12000. LAYAK.
3. Perpotongan kedua garis: (3000, 3000). Cek kedua kendala: 3000 + 3(3000) = 12000 (memenuhi). 3(3000) + 3000 = 12000 (memenuhi). LAYAK.

Sekarang evaluasi biaya di titik sudut yang layak:
- Titik (12000, 0): Biaya = 2500 * 12000 = Rp30.000.000.
- Titik (0, 12000): Biaya = 3000 * 12000 = Rp36.000.000.
- Titik (3000, 3000): Biaya = 2500 * 3000 + 3000 * 3000 = 7.500.000 + 9.000.000 = Rp16.500.000.

Kesimpulan: Biaya minimum adalah Rp16.500.000,00.